Complejo Entero de las funciones de

Question

Cómo puedo probar esto. Yo no podría usar $\Im(w)<0$ condición en el teorema de Liouville.

Deje $f(z)$ ser toda la función, y suponiendo que las $f(z)$ no toma valores en $\Im(w)<0$ muestran que $f$ es idéntica a cero.

Gracias.

Answer 1

Deje $g(z)=e^{if(z)}$. A continuación, $g$ es todo y $$|g(z)|=|\exp((\Re f(z)+i\Im f(z))i)| =|\exp\left(i\Re f(z)-\Im f(z)\right)|=e^{-\Im f(z)}\leq 1.$$ Por el teorema de Liouville, $g$ es constante por lo tanto $e^{if(z)}=C$ $f'(z)e^{if(z)}=0$ $f$ es constante (pero no necesariamente $0$).

Answer 2

Supongamos $f$ no es constante. A continuación, $\mathcal{Im}(f)$ es abierto por lo que podemos asumir $\mathcal{Im}(f) \subset I(w) > 0$

$ \varphi :z \mapsto \frac{z - i }{z + i}$ es un bijection de $\mathbb{D}$ $I(w) > 0$

Por lo $\varphi^{-1} \circ f $ es una función que está delimitada por Liouville es constante y, a continuación, $f$ es constante.