Hice esta pregunta después de una discusión en mis Métodos Matemáticos curso y no obtener una respuesta satisfactoria.
Si tenemos un infinito dimensional espacio de Hilbert, ¿por qué necesitamos una base ortonormales? Para finito de espacios dimensionales, está bien tener un conjunto linealmente independiente que se extiende por el espacio. Por qué las condiciones adicionales cuando nos movemos hasta el infinito dimensiones?
Cuando estamos trabajando con los espacios de Hilbert, tenemos el extra de la estructura dada por la norma: el continuo lineal mapas son una parte muy importante de la subclase de los mismos. Y en un espacio de Hilbert nuestra noción de isomorfismo es lineal surjection $T: H_1 \to H_2$ que conserva el interior del producto.
El principal valor de una base para un espacio vectorial es que podemos determinar toda lineal mapa de donde la base de los mapas solo. Si queremos restringir el continuo lineal de los mapas, una base de Schauder es todo lo que necesitamos para determinar la totalidad lineal mapa; porque si $v = \sum_{n=0}^\infty a_n e_n$ (donde $e_n$ es una base de Schauder), entonces, por la continuidad y linealidad - $T(v) = \sum_{n=0}^\infty a_n T(e_n)$.
Por lo que una base de Schauder es suficiente para cualquier espacio de Banach (ya que toda la discusión anterior trabaja allí, también!). Por desgracia, los espacios de Banach que no necesariamente tienen una base de Schauder - necesitamos el espacio de Hilbert de la estructura para probar que existen.
También tenemos aún más la estructura, y sería bueno si en nuestra base tomó eso en cuenta. Así que supongamos que queremos comprobar si un mapa de $T: H_1 \to H_2$ es ortogonal, es decir, si $\langle v_1, v_2\rangle = \langle T(v_1), T(v_2)\rangle$. La comprobación de esto es más fácil de nuevo, si tenemos una base ortonormales: sólo se necesita comprobar si $\langle T(e_i), T(e_j)\rangle = 0$ todos los $i \neq j$, e $\langle T(e_i), T(e_i)\rangle = 1$ todos los $i$. Así como estamos interesados en ortogonal a los operadores, dice - es muy agradable tener una base ortonormales, ya que reduce el volumen de trabajo.
He aquí una bonita corolario de la existencia de bases ortonormales de un espacio de Hilbert.
Cualquiera de los dos espacios de Hilbert con bases ortonormales de la misma cardinalidad son isomorfos.
Prueba: voy a asumir que las bases son contables para mayor claridad; el mismo argumento funciona con cualquier cardinalidad. Deje $H_1$ tienen base ortonormales $e_1, \dots$ y deje $H_2$ tienen base ortonormales $e'_1, \dots$. Definir un mapa de $H_1 \to H_2$ por $$T\left(\sum_{n=0}^\infty a_n e_n\right) = \sum_{n=0}^\infty a_n e'_n.$$ Because these are orthonormal bases, this is a continuous invertible linear map with continuous inverse; and because they're, again, orthonormal bases, $\langle v, w\rangle = \langle T(v), T(w)\rangle$. Así que este es un isomorfismo de espacios de Hilbert, como se desee.
Bases ortonormales tienen otras buenas propiedades, algunas de las cuales se mencionan en los comentarios), por lo que a menudo nos gustaría elegir uno cuando tenemos espacios de Hilbert en el primer lugar. Ellos hacen las cosas más fáciles para trabajar. Pero, por supuesto, ellos no son los únicos bases de Schauder. Pero si escogemos una base que nos podría elegir una buena.
Usted tiene que darse cuenta de que una base ortonormales $\mathcal B=(e_i)_i$ en el marco de un infinito-dimensional espacio de Hilbert $H$ es nunca una base en el sentido de álgebra lineal debido a que los vectores $e_i$ no generan $H$ .
Más precisamente, un vector $x\in H$ puede ser escrito $x=\sum \lambda_i e_i$ pero no son, en general, un número infinito de no-cero escalares $\lambda_i$ y, lo que es más importante, el símbolo de $\sum$ " no denota una suma algebraica, sino que es una forma abreviada de un proceso que implica la limitación de la topología de $H$ deducido desde el interior del producto proporcionada en la estructura de un espacio de Hilbert.
Nótese que en un espacio vectorial sin suplementario de estructura sólo finito de sumas sentido.
Resumiendo, las dificultades se derivan de la muy lamentable terminológica choque de dos profundamente diferentes nociones de compartir la misma denominación de "base".
Yo no soy muy conocido en esta área, así que no me atrevo a añadir una respuesta, pero lo haré de todos modos. Como yo lo entiendo, usted puede tener bases en espacios de Hilbert que no son ortonormales (Base de Schauder). Sin embargo, cuando estamos lidiando con un ortonormales base de un buen montón de resultados de seguimiento.
Deje $\mathcal{H}$ ser un espacio de Hilbert y $(\mathbf{e}_k)_{k=1}^\infty$ un ortonormales. Entonces
$1$) $\mathbf{v} = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle \mathbf{v},\mathbf{e}_k\rangle\mathbf{e}_k\quad\forall\mathbf{v}\in\mathcal{H}$
$2$) $\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle = \sum\limits_{k=1}^\infty\langle\mathbf{v},\mathbf{e}_k\rangle \langle\mathbf{e}_k,\mathbf{w}\rangle\quad \forall\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathcal{H}$
$3$) $\sum\limits_{k=1}^\infty|\langle\mathbf{v},\mathbf{e}_k\rangle|^2 = \|v\|^2\quad\forall \mathbf{v}\in\mathcal{H}$
$4$) $\overline{\text{span}}[(\mathbf{e}_k)_{k=1}^\infty] = \mathcal{H}$
$5$) Si $\mathbf{v}\in\mathcal{H}$ $\langle\mathbf{v},\mathbf{e}_k\rangle = 0$ todos los $k\in\mathbb{N}$,$\mathbf{v} = \mathbf{0}$.
Estoy seguro de que hay más, pero estos eran los buenos resultados que sabía. Por qué, éstos llevan a cabo sólo si $(\mathbf{e}_k)_{k=1}^\infty$ es una base ortonormales.
Consideremos primero finito dimensionales espacios. De hecho, vamos a considerar ordinario vectores en $\mathbb{R}^n$ con el producto escalar como el interior del producto.
Tomar cualquier base $v_1,v_2,...,v_n$$\mathbb{R}^n$. Entonces cualquier vector $v$ puede ser escrita como:
$v = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... +\lambda_n v_n$
para algunos únicas $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\in\mathbb{R}$.
Pregunta: ¿Cómo encontrar estos números?
Ok, así que usted puede imaginar que este es un caso de resolver un conjunto de ecuaciones lineales. Pero, ¿REALMENTE tenemos que hacer esto? Me refiero a que si utilizamos el estándar de base (es decir, habitual de los ejes de coordenadas), entonces es simple lectura de los números, son los componentes del vector.
En cierto sentido, es la razón por la que esta base es más fácil trabajar con el hecho de que es un ortonormales con respecto al producto escalar.
Usted ve, en general, si usted tiene una base ortogonal en un producto interior de espacio, a continuación, usted tiene la fórmula:
$\lambda_m = \frac{\langle v,v_m\rangle}{||v_m||^2}$
para cada una de las $m$. Esto no es recta hacia adelante de manera arbitraria!
Por supuesto, si exigimos, además, que la base es ortonormales, es decir, $||v_m|| = 1$ por cada $m$, entonces la fórmula se convierte en aún más simple, $\lambda_m = \langle v,v_m\rangle$.
Así que para cortar una larga historia corta ortogonal/bases ortonormales son mucho más fáciles de calcular, ya que puede calcular los coeficientes en la base de expansión fácilmente.
Nada cambia con infinitas dimensiones de los espacios (bueno, excepto el tener que tener cuidado con infinitas sumas y convergencia, etc). Por ejemplo, la razón de que las fórmulas para la serie de Fourier son lo que son es exactamente una aplicación de las fórmulas anteriores (desde $\{1\}\cup\{\sin{mx},\cos{mx}\,|\,m\in\mathbb{N}\}$ son ortonormales base para una determinada infinitas dimensiones del espacio de funciones con un determinado producto interior dado por las integrales.
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