¿Cómo se demuestra que para $0
$$x-\displaystyle\frac{x^3}{3}<\arctan x
Debes demostrar rigurosamente que en algún momento dentro de tu intervalo, la desigualdad es realmente válida.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?La primera desigualdad es trivial, ya que $\arctan x = x - \frac{x^3}{3}+\frac{\xi^5}{5}$ para algún $\xi \in (0,1)$. Para la segunda, simplemente observa que $$ \frac{d}{dx} \left( \arctan x - x + \frac{x^3}{6} \right) = \frac{x^2}{2}+\frac{1}{x^2+1}-1, $$ y esta cantidad es negativa para $x \in (0,1)$. Por lo tanto $$ \arctan x - x + \frac{x^3}{6} < 0 $$ para $x \in (0,1]$.
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Podrías mirar las derivadas para averiguarlo. Todas estas funciones se desvanecen en $0$, por lo que las desigualdades entre las derivadas se trasladan a las correspondientes desigualdades para las funciones.
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La primera desigualdad se puede derivar de la expansión en serie de $\arctan{x}$.
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He editado tu pregunta para mejorar el título y el texto, por favor verifica que no haya cambiado el significado de tu pregunta.
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Realmente no entiendo el lado derecho de esta desigualdad al utilizar expansiones de Taylor abreviadas
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Por otro lado, se puede mostrar cada desigualdad por separado, por ejemplo, sea $f_1(x)=\arctan{x}-\left(x-\frac{x^3}{3}\right)$ y luego mostrar que $f_1(0) = 0$ y demostrar que la derivada de $f_1$ es estrictamente creciente. Lo mismo aplica para el segundo caso con una función apropiada $f_2.