Si$|f(z)|\lt a|q(z)|$ para algunos$a\gt 0$, entonces$f=bq$ para algunos$b\in \mathbb C$

Question

Si$q\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es un polinomio,$f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es analítico en$\mathbb{C}$%, y si existe$a\gt 0$ tal que$|f(z)| \lt a|q(z)|$ para cada$z\in \mathbb{C}$, luego$f = bq$ para algunos$b\in \mathbb{C}$.

¿Puede una función analítica arbitraria (en todos los$\mathbb{C}$) reemplazar$q$?

Answer 1

Si usted realmente significa desigualdad estricta, entonces esto se deduce a partir del teorema de Liouville aplicado a $f/q$. Tenga en cuenta que $q$ debe ser constante, como $q$ no tiene ceros de la condición.

Es la verdad si $<$ es reemplazado por $\leq$, sin embargo. (Tal vez significaba esto?) En primer lugar, la de Cauchy estimaciones muestran que $f$ es un polinomio; de hecho, desde la $f$ crece exponencialmente, podemos tomar los promedios de $f/(z-\alpha)^N$ en círculos cada vez más grandes. De esta manera se puede ver que $f$ es un polinomio.

Ahora la cuestión se reduce a mostrar que si un polinomio $p$ está acotada por una constante múltiplo de otro polinomio $q$, $p$ $q$ difieren por una constante. Esta es una directa consecuencia de la factorización.