Ecuación diferencial

Question

Entonces da la ecuación diferencial

$$A(x)y''(x)+A'(x)y'(x)+\frac{y(x)}{A(x)}=0,$ $ con$A(x)$ una función conocida y$y(x)$ se determinará. ¿Cuál es la solución para esta ecuación diferencial?

Intenté sustituir$y(x)=A(x)u(x)$, pero desafortunadamente esto no eliminó mi variable desconocida$A(x)$. No sé si hay otros trucos o sustituciones que pueda intentar resolver esta situación.

También considero cambiar a$u=A(x)$ como mi variable independiente, pero eso tampoco me ayudó mucho ...

Answer 1

Reorganizar la ecuación de rendimiento $$ Un^2y" AA + y' + y = 0 = a^2y" + \left(\frac{A^2}{2}\right)'y' + y $$ mutiply por $y'$ encontramos $$ Un^2y"y' + \left(\frac{A^2}{2}\right)'y'^2 + yy' = 0\\ \frac{A^2}{2}\left(y'^2\right)' + \left(\frac{A^2}{2}\right)'y'^2 + yy' = 0 $$ la última ecuación puede ser escrita como $$ \frac{1}{2}\dfrac{d}{dx}\left(A^2y'^2\right) + \frac{1}{2}\left(y^2\right)' = 0 $$ o $$ \left(A^2y'^2\right) + y^2 = \lambda $$ así $$ y' = \frac{\pm\sqrt{\lambda-y^2}}{A} $$ o $$ \int \frac{1}{\sqrt{\lambda-y^2}} dy = \pm\int \frac{1}{A}dx $$