Ecuación funcional:$f(f(x,y), z) = f(x, f(y,z))$

Question

Tengo curiosidad por saber acerca de las funciones de $f \colon \mathbb{R}^2_{\geq 0} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ que satisface la siguiente igualdad. Para cada $\{x,y,z\} \subseteq \mathbb{R}_{\geq 0}$,$$f( f(x,y), z) = f(x, f(y,z)).$$ Ejemplos de tales funciones incluyen

1. $f_1(x,y) = 1$
2. $f_2(x,y) = x$
3. $f_3(x,y) = x + y + 1$
4. $f_4(x,y) = xy$
5. $f_5(x,y) = \max\{x,y\}$
6. $f_6(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$

Además, me requieren $f(x,y) = f(y,x)$ (descalifica $f_2$) y $f(x,0) = x$ (descalifica $f_1$, $f_3$, $f_4$).

A partir de los ejemplos, mi salvaje conjetura es que $f$ tiene que ser homogénea de grado 1, pero no puedo demostrarlo. Alguna sugerencia sobre cómo proceder son muy apreciados!

Edit: yo también estaba considerando la siguiente cuestión relacionada.

Deje $f$ ser homogénea de grado 1 y satisfacer los requisitos adicionales, por lo $f(x,y) = f(y,x)$$f(x,0) = x$. Qué $f$ luego cumplir con el principal igualdad, $f( f(x,y), z) = f(x, f(y,z))$?

Esto también resulta ser falsa; un contra-ejemplo es $f(x,y) = \sqrt{xy} + x + y$.

Answer 1

La propiedad que $f(x,f(y,z)) = f(f(x,y),z)$ significa que $f$ es asociativa del producto.

$f(x,y) = f(y,x)$ $f$ es una propiedad conmutativa del producto.

$f(x,0) = f(0,x) = x$ $0$ es la unidad de este producto.

La triple $(\mathbb{R}_{\ge0},f,0)$ se llama conmutativa monoid, y su pregunta es, esencialmente, acerca de la caracterización de la conmutativa monoid estructuras en $\mathbb{R}_{\ge0}$.

Desafortunadamente, sin más limitaciones que existen un gran número de tales estructuras que pueden comportarse muy salvajemente. Aquí está un ejemplo de este tipo salvaje ejemplo:

Revisión arbitraria bijection $g: \mathbb{R}_{\ge0} \to \mathcal{P}(\mathbb{N})$ donde $\mathcal{P}$ denota el poder establecido, que envía a $0$ para el conjunto vacío. Podemos definir un $f$ a través de la fórmula de $f(x,y) = g^{-1}(g(x) \cup g(y))$. Esto tiene la propiedad de que todo lo $x$ se envía a todo el conjunto $\mathbb{N}$ satisface $f(x,y)=x$ todos los $y$, y este definitivamente no es homogénea.

Answer 2

Tratar $f(x,y) = xy+x+y = (x+1)(y+1)-1$. Satisface todas las condiciones y no es homogéneo.