PDE en colectores

Question

Actualmente estoy en un PDE, por supuesto, donde uno de los requisitos es presentar un documento en el PDE. Me pregunto si alguien puede sugerir una de las primeras (leer fundacional, primera introductoria) de papel hablando de la PDE en los colectores. Soy un topologist (homotopy teórico) por capacitación así que prefiero que las cosas sean coordinar libre, pero esto no puede ser posible. Por ejemplo algo de diversas nociones de la curvatura de la PDE, o algo en la visión de la PDE a nivel mundial en términos de actuar en las secciones sería genial.

Si este no es el mejor foro, mis disculpas.

Answer 1

Gage y Hamilton papel en la curvatura de flujo (curva de enderezado) para las curvas en $\mathbb R^2$ podría ser agradable a la presente.

MR0840401 (87m:53003)

Answer 2

Hay un montón de posibles respuestas a su pregunta, pero tal vez aquí están algunas ideas. Ellos no son los papeles, pero de los buenos proyectos.

• Método de las Características de Primer Orden no Lineal de la PDE puede ser interpretado de muy limpia mediante el contacto y topología simpléctica formas. Esto libera a una de las coordenadas, pero usted puede, a continuación, utilizar la geometría para escribir el despliegue de Hamilton-Jacobi ecuaciones. Ver Vladimir Arnold "Conferencias sobre Ecuaciones Diferenciales Parciales" en el Capítulo 2. En general muchos de los sistemas dinámicos de los problemas se pueden refundir completamente en forma diferenciada teórico de la notación. Para una perspectiva de la física José y Saletan "la Dinámica Clásica: Un Enfoque Contemporáneo" tiene algo de esto.

• Dependiendo de cuánto hemos hecho, uno puede demostrar que la Descomposición de Hodge Teorema de uso básico de Sobolev espacio de la teoría, de Lax-Milgram y la Alternativa de Fredholm. Esta no es la coordenada independiente de por sí, pero sólo los usos funcionales generales-analítica de la maquinaria. Esto lo hicimos en un PDE clase recientemente, y sólo tengo mis notas como referencia, pero Griffiths y Harris "los Principios de la Geometría Algebraica" parece hacer la prueba a partir de la página 84.

• También se puede ver en Nash original del artículo en su incrustación teorema, que básicamente se reduce a un fix-punto problema. Sin embargo, esto es necesariamente de coordenadas.

La buena suerte.

Answer 3

Para hacer las cosas de coordenadas, es suficiente para reformular las ecuaciones diferenciales en la forma en que se hace uso de exteriores de los derivados y los productos exteriores de formas diferenciales. Cualquier conjunto de ecuaciones diferenciales pueden ser emitidos en esta forma, la única sutileza que puede requerir una colección infinita de formas diferenciales a ser introducido. Como topologist usted puede ser consciente de que el trabajo de Sullivan "Infinitesimal cálculos en la topología" en la que una especie de dichas ecuaciones fueron estudiados. Aunque para hacer real la PDE es necesario trabajar con cero grados formas también, que él no lo hizo. Tales ecuaciones tienen aplicaciones en la física, por ejemplo, usted puede escribir las ecuaciones que describen negro-agujero sin hacer referencia a las coordenadas.

El típico sistema que tiene la forma de $d W^A=F^A(W)$ donde $W^A$ es un conjunto de algunas de las formas de valor en algunos espacios lineales, $W^A$ no es necesario tener el mismo grado, $F^A(W)$ sólo se expande en términos de exterior, productos de $W^A$ con coeficientes constantes.

Tomemos como ejemplo una de las formas de $\Omega^I$, $F^I=f^I_{JK}\Omega^I\Omega^K$, a continuación,$d\Omega^I=f^I_{JK}\Omega^I\Omega^K$, la integrabilidad para este ecuaciones implica $f^I_{JK}$ ser la estructura constantes para algunos Mienten álgebra. La covariante de la constancia de ecuaciones puede ser formulado de la misma forma.

Answer 4

Estoy de acuerdo con tus puntos de vista respecto de coordenadas libertad. Además me parece que el trabajo de Richard Melrose muy inspirador ya que él es - a pesar de que claramente tratar con inhibidores de la pde y el índice de la teoría a cada paso de que se trate con el consentimiento explícito de coordenadas, la invariancia de las declaraciones. Por lo tanto lo que puede ser entendido claramente acordado por un diferencial de topologist.
Aquí ist su página de inicio, mira:
http://www-math.mit.edu/~de la gbr/
Mira por ejemplo en su golpe de explicaciones o las cosas en la transformación de Fourier y pseudodifferential operadores de un diferencial topologist perspectiva.

Answer 5

La tour-de-force de la elíptica de la pde en los colectores es el problema de Yamabe. Allí el pde es un de segundo orden, de forma elíptica, y semilinear con un Sobolev exponente crítico. El análisis puede llegar a ser increíblemente difícil si usted desea resolver todo el problema, pero si usted se centra en los primeros pasos (los realizados por Yamabe, Trudinger) que podrían tener un buen problema. Menciono esto aquí porque era mi exposición a este problema que me preparó para hacer la investigación en el análisis geométrico (PDE en colectores de Riemann) y creo que este es el caso para muchas personas en la conformación geometría diferencial. Referencias incluiría Lee&Parker "El Problema de Yamabe" y notas de la conferencia en Emmanuel Hebey del sitio web.