¿Por qué y cuándo un determinante de una matriz mayor es igual a un determinante de una matriz menor?

Question

Lo siguiente está escrito en la solución de mi libro de texto.

$$|A|= \left| \begin{array} {cccc} 1 & 2& -1& 4 \\ 0& 5& -1& 6 \\ 0& -3& 3& -6 \\ 0& 2& 2& -1\\ \end{array} \right| = \left| \begin{array} {ccc} 5& -1& 6 \\ -3& 3& -6 \\ 2& 2& -1\\ \end{array} \right|$$

donde $A=\left[ \begin{array} {cccc} 1 & 2& -1& 4 \\ 0& 5& -1& 6 \\ 0& -3& 3& -6 \\ 0& 2& 2& -1\\ \end{array} \right]$

Puedo ver que estamos ignorando la columna 1 y la fila 1 de $A$ para calcular el determinante.

Pero no entiendo por qué es una operación válida. Puede alguien mostrarme cuáles son las propiedades de los determinantes/matrices que se utilizan para justificar esto?

Answer 1

La regla de un determinante es una regla recursiva, a saber Expansión de Laplace . Así, se puede demostrar que el determinante es igual a: $$A_{11}\cdot|M_{11}|-A_{21}\cdot|M_{21}|+A_{31}\cdot|M_{31}|-A_{41}\cdot|M_{41}|$$ Donde $|M_{ij}|$ es el determinante del menor - la $(n–1) \times (n–1)$ matriz que resulta de borrar la i-ésima fila y la j-ésima columna de $A$ .

Desde $A_{21},A_{31},A_{41}$ son todos cero, y $A_{11}=1$ el determinante de $A$ resulta ser igual al determinante de $M_{11}$ .

Answer 2

Voy a intente para afinar un poco tu intuición en esto. La otra respuesta está completamente bien.

Es de esperar que esté familiarizado con la definición de "suma de permutaciones con signo" del determinante conocida como la Fórmula de Leibniz:

$$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i), i}$$

Donde $\operatorname{sgn}(\sigma)$ es el signo de una permutación (+1 para los pares, -1 para los Impares) y $S_n$ es el grupo de permutación en $n$ elementos.

Piensa en lo que ocurre cuando intentas construir una permutación que no incluya el 1 en la esquina superior izquierda. Pruébalo unas cuantas veces para convencerte.

Cada vez que se selecciona una columna diferente de esa primera fila, se obliga a seleccionar una 0 de una de las otras filas para completar la permutación. Esto significa que estas permutaciones no afectarán a la suma (la multiplicación por cero da como resultado cero) y se pueden ignorar con seguridad.