¿Proceso de Ornstein-Uhlenbeck exponencial estrictamente estacionario?

Question

Se puede definir el valor inicial de la exponencial Ornstein-Uhlenbeck proceso $r$, definido por

$$r(t) = e^{y(t)}\quad\text{with}\quad dy(t) = k(θ −y(t)) \mathrm dt+\sigma \mathrm dW(t),$$

¿tal que el proceso es estrictamente estacionario? Me imagino

$$ r(0)\sim\log(\mu,\sigma) $$

con

$$\mu=\exp\left(\theta + \frac{\sigma^2}{4k}\right)$ $ y $$\sigma=\exp\left(2\theta + \frac{\sigma^2}{2k}\right) \left[ \exp\left(\frac{\sigma^2}{2k}\right)−1\right]$ $

sería así. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Por simplicidad de notación supongamos que $\theta=0$; luego la solución de la SDE

$$dY_t = - k Y_t \, dt + \sigma dW_t$$

está dada por

$$Y_t = e^{-kt} Y_0 +\sigma\int_0^t e^{-k(t-r)} \, dW_r.$$

Si $r(0) \sim \log(\mu,\varrho^2)$, entonces podemos escribir $r(0)= e^{Y_0}$ donde $Y_0 \sim N(\mu,\varrho^2)$ es independiente de $(W_t)_{t \geq 0}$. En particular, vemos que $(Y_t)_{t \geq 0}$ es un proceso Gaussiano con media

$$\mathbb{E}Y_t = e^{-k t} \mu$$

y la varianza

$$\mathbb{V}Y_t = e^{-2kt} \varrho^2+ \frac{\sigma^2}{2k} \left(1-e^{-2kt} \right).$$

Desde el exponencial de los momentos de la distribución normal son bien conocidos, obtenemos

$$\begin{align*}\mathbb{E}r_t &= \mathbb{E}e^{Y_t} = \exp \left( \mathbb{E}Y_t+ \frac{1}{2} \mathbb{V}Y_t \right) = \exp \left( e^{-kt} \mu + e^{-2kt} \varrho^2+ \frac{\sigma^2}{2k} \left(1-e^{-2kt} \right) \right). \end{align*}$$

Esto muestra que la expectativa de que el proceso de $(r_t)_{t \geq 0}$ depende del tiempo $t$. En consecuencia, no es un proceso estacionario.