Preguntas sobre la distribución de los $Y$ dadas las distribuciones de $X$ y $Y$ condicionalmente $X$

Question

$\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}\newcommand{\E}{\operatorname{E}}$: $X$ Uniforme en $(0,1)$$Y\mid X=x$$N(x,1)$.

Pregunta 1: Determinar el $\E(Y^2)$$\Var (Y)$.

Respuesta 1: $$ \Var(Y)= \E[\Var (Y \mid X)] + \Var[\E(Y\mid X)] = 1 + \Var(X) = 13/12$$

$$\Var(Y) = \E(Y^2) - [\E(Y)]^2 $$

Reescribir esta en $$\E(Y^2) = \Var (Y) + (\E[\E(Y\mid X)])^2 = 4/3$$

Pregunta 2: Muestre $P[Y \le 1] = \int^1_0 \Phi(1-x)\,dx $ $\Phi$ como normal estándar cdf.

Respuesta 2: $$P(Y \le 1 \mid X) = P(Y-x \le 1-x \mid X=x) = \Phi(1-x). $$ Then we take the expectation to get the probability we are looking for: $$P[Y \le 1] = E[P(Y \le 1 \mid X)] = \int^1_0 \Phi(1-x)f_X(x)\,x = \int^1_0 \Phi(1-x)\,dx$$ de Manera que obtenemos el resultado deseado.

Me estoy preguntando si la respuesta a la pregunta 1 es derecho y para un poco de ayuda para el segundo.

EDIT: Acabo de ver $f_{X,Y}(x,y) = f_{Y\mid X}(x,y)$.

EDIT2: Gracias por la ayuda chicos realmente lo apreciamos!

Answer 1

Creo que la primera es correcta (Ley de la varianza total), para el segundo que te sugiero ley de probabilidad total $P(Y) =E[P(Y\mid X)]$:

$$P(Y\leq 1) = E[P(Y \leq 1\mid X)] = \int_{X} P(Y \leq 1 \mid x)\cdot f(x) dx$$

$Y\mid X = U \sim N(x,1). \ $, Sabemos que $U <c donde="" lo="" n="" por="" tanto:="" u="" z="">$$P(Y \leq 1 \mid x) = (P(U\leq 1), \ U \sim N(x,1)\ ) = \Phi(\frac{1-x}{1}) $$

y tenemos lo que necesitábamos.

</c>