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Principios generales de resolución de ecuaciones radicales

¿Cuáles son las formas generales de resolver ecuaciones radicales similares a preguntas como

$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2 -1}=x$

$\sqrt{3x-1}+\sqrt{5x-3}+\sqrt{x-1}=2\sqrt2$

$\sqrt{\frac{4x+1}{x+3}}-\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}=1$

¿Hay algunas formas conocidas de resolverlos? ¿Cómo sabes la mejor manera de resolver esas preguntas? Tengo problemas con muchas ecuaciones de raíz cuadrada, y cuando las pregunto en este sitio, obtengo buenas respuestas, pero para una pregunta. Me preguntaba si había algún principio general para resolver tales preguntas.

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Matthew Scouten Puntos 2518

Una vez estrategia general consiste en reemplazar cada nueva raíz $\sqrt[k]{expression}$ en la ecuación por una nueva variable, $r_j$, junto con una nueva ecuación $r_j^k = expression$ (por lo que ahora tendrás $m+1$ ecuaciones polinómicas en $m+1$ incógnitas, donde $m$ es el número de raíces). A continuación, eliminar las variables del sistema, terminando con un único polinomio de la ecuación de una incógnita, de tal manera que su variable original puede ser expresada en términos de las raíces de este polinomio. Este procedimiento puede presentar falsos soluciones si usted sólo desea que la rama principal de la $k$'th raíz, así que no te olvides de comprobar si las soluciones que dan son válidos.

Por ejemplo, en su segunda ecuación, tenemos el sistema de $$ \eqalign{r_1 + r_2 + r_3 - 2 \sqrt{2} &= 0\cr r_1^2-(3x-1) y= 0\cr r_2^2-(5x-3) &= 0\cr r_3^2-(x-1) &=0\cr}$$ Tomar la resultante de los dos primeros polinomios con respecto a $r_1$, entonces la resultante de esta y la tercera con respecto a $r_2$, y la resultante de esta y la cuarta con respecto a $r_3$. Tenemos $$ 121 x^4-4820 x^3+28646 x^2-45364 x+21417$$ lo que sucede con el factor de $$ \left( x-1 \right) \left( x-33 \right) \left( 121\,{x}^{2}-706\,x+ 649 \right) $$ Sin embargo, sólo la solución de $x=1$ resulta satisfacen la ecuación original.

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escribiría la ecuación en la forma$$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=x+\sqrt{x^2-1}$ $ con$$x\geq 1$ $ después de cuadrar una vez y aislando la raíz cuadrada obtenemos$$2\sqrt{1-x^2}(1-x)=2x^2-2x-1$ $ squaring nuevamente obtenemos$$(x^2-1)(2-2x)^2=(2x^2-2x-1)^2$$ this gives the equation $$4x-5=0$$ and we get $$x=\frac{5}{4}$ $ cumple con nuestra ecuación. en la segunda ecuación obtenemos$$x=1$ $, escribimos su tercera ecuación en la forma$$\sqrt{\frac{4x+1}{x+3}}=1+\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}$ $ que obtenemos después de cuadrar dos veces$$\left(\frac{2x}{x+3}\right)^2-4\left(\frac{x-2}{x+3}\right)=0$ $ después de simplificar obtenemos$$-4\,{\frac {x-6}{ \left( x+3 \right) ^{2}}}=0$ $

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driveguy Puntos 578

Creo que se podría editar este post para ser más claro. Exactamente lo que están buscando? Buscas un algoritmo que resuelva $F(x)=0$ donde $F$ es cualquier expresión algebraica de la función? O estás interesado sólo en el caso de que $F$ tiene una cierta forma "similar" a la que has publicado? En el último caso, ¿qué quieres decir con similar?

Si usted se refiere a todas las funciones algebraicas, entonces creo que la respuesta es no. Debido a que este sería esencialmente equivalente a ser capaz de resolver cualquier ecuación polinómica en absoluto en términos de los radicales y, por la teoría de Galois, esto es imposible.

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