¿Error en "Cálculo, un curso completo"?

Question

Mi libro de cálculo dice que si $x\le-1$ entonces: $$\sec^{-1}{x}=\pi-\sin^{-1}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$$

Tengo poca experiencia en matemáticas, pero mi calculadora no está de acuerdo con la afirmación anterior. ¿No debería ser?

$$\sec^{-1}{x}=\pi+\sin^{-1}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$$

Como referencia: se indica en el ejercicio 48 del capítulo 3.5 del libro "Calculus, a complete course", 8ª edición.

Answer 1

Depende de cómo se defina la "arcosecante".

Mientras que los valores de $x\ge1$ se toman "naturalmente" en $[0,\pi/2)$ se puede optar por tomar los valores de $x\le-1$ en $(\pi/2,\pi]$ o en $[\pi,3\pi/2)$ .

Algunas personas optan por esta última opción, lo que repercute en la forma de representar la derivada de la arcosecante, véase Definición de $\operatorname{arcsec}(x)$ (que es una pregunta tuya, por cierto).

Como se explica allí, la derivada de la arcosecante, con esta última definición, es $$ \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} $$ y la derivada de $\arcsin\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$ (para $x\le-1$ ) es $$ \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^2-1}{x^2}}} \frac{\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}-\sqrt{x^2-1}}{x^2} =\sqrt{x^2}\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}} =-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} $$ Esto significa que, para $x\le-1$ , $$ \sec^{-1}x=c-\sin^{-1}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} $$ y es fácil ver que $c=\pi$ .

Así que, aparentemente, su libro de texto está utilizando la definición de la arcosecante como tomando sus valores en $[0,\pi/2)\cup[\pi,3\pi/2)$ .

Answer 2

Tienes razón, pero pensemos en el porqué de esto:

Si $\sec \theta \leq -1$ entonces $-1 \leq \cos \theta < 0$ lo que implica el cuadrante II o III. Por lo tanto, dado que el rango de $\sec^{-1}$ es $[0, \pi]-\{\frac \pi 2\}$ (Cuadrante I o II), debemos tener $\theta \in (\frac \pi 2, \pi]$ (Cuadrante II)

Ahora bien, si $x \leq -1$ entonces $-1 < \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}=\sin \alpha \leq 0$ , lo que implica el Cuadrante III o el Cuadrante IV. Por lo tanto, dado que el rango de $\sin^{-1}$ es $[-\frac \pi 2, \frac \pi 2]$ (Cuadrante I o IV), debemos tener $\alpha \in (-\frac \pi 2, 0]$ (Cuadrante IV).

Ahora, consideremos algunos valores de $x$ : $$x=-1 \implies \sin \alpha=0 \wedge \sec \theta=-1 \implies \alpha=0 \wedge \theta=\pi$$ $$x=-\frac{2}{\sqrt 3} \implies \sin \alpha=-\frac 1 2 \wedge \sec \theta=-\frac{2}{\sqrt 3} \implies \alpha=-\frac \pi 6 \wedge \theta=\frac{5\pi}{6}$$

Como se ve en nuestros dos ejemplos, ambos $\alpha$ y $\theta$ tienen los mismos ángulos de referencia, pero $\alpha$ está en el cuadrante IV mientras que $\theta$ está en el cuadrante II. Por lo tanto, sólo tenemos que cambiar $\alpha$ en el cuadrante II girándolo $\pi$ radianes, por lo que obtenemos $\alpha+\pi=\theta$ o: $$\sin^{-1} \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\pi=\sec^{-1}x$$

Answer 3

Observe que $\dfrac{\sqrt{x^2-1}} x > 0$ . Y uno espera $\sec^{-1}(\cdot) \le \pi$ .

Dibuja la gráfica de la función secante. No es unívoca, por lo que se restringe el dominio de la función secante para obtener una función unívoca cuya inversa se denomina secante inversa o arcosecante. La restricción por convención es el intervalo $[0,\pi]$ o $[0,\pi]\setminus\{\pi/2\}$ si no quieres $\infty$ para ser uno de los valores de la función secante. (Esto no es $+\infty$ o $-\infty$ pero una sola $\infty$ que se aproxima yendo en la dirección positiva o en la negativa, con lo que la función secante es continua en $\mathbb R$ y la restricción de la función secante continua en $[0,\pi]\setminus\{\pi/2\}$ .)

Por lo tanto, el rango de la función arcosecante, o función secante inversa, está incluido en el conjunto $[0,\pi]$ .