La Escuela secundaria Funciones Avanzadas: la Clarificación de reglas de registro en un registro de la ecuación de $\log(x^2) = 2$, Resolver para x.

Question

Me metí en una discusión con mi maestro para las posibles soluciones de x. A partir de algunas fuentes que he encontrado que porque x es el cuadrado de los valores negativos, debe ser posible; sin embargo, mi profesor insiste en que: $$ \log(x^2) = 2\log x $$ y que tienen que ser intercambiables, no importa lo que se le dio originalmente. Por lo tanto, la solución negativa (-10) sería superfluo. Por favor, que me ayude a entender lo que es correcto! Gracias.

Answer 1

Su profesor está mal aquí. Como ustedes están notando $$\log((-10)^2)=\log(100)=2$$ por lo tanto $-10$ es una solución para la ecuación y es tan válido como $10$. No hay escape de este hecho.

Francamente, la conclusión a la que se llega es que $$\log(x^2)=2\log(x)$$ no sostenga para valores negativos - de hecho, apenas tiene sentido, dado que el logaritmo es (en primaria ajustes) sólo se define para los positivos $x$. Una afirmación más precisa de esto sería $$\log(x^2)=2\log(|x|)$$ que sostiene claramente desde $x^2=|x|^2$ - en el que se admite a $-10$ como una solución.

Su maestro es el argumento es poco diferente de decir $$|x|=5$$ ha $x=5$ ya que es la única solución, debido a la identidad de $|x|=x$ (que sólo tiene de positivo $x$).

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Si tenemos que ser muy seguros acerca de las cosas, podríamos pasear por el complejo-número-de la tierra y hablar sobre el logaritmo natural, donde, debido a la identidad de Euler que $e^{i\pi}=-1$, podríamos definir razonablemente $\ln(-1)=\pi i$. Entonces, si estamos resolviendo la ecuación $$\ln(x^2)=0$$ nos gustaría, por supuesto, las soluciones de $x=\pm 1$. Podríamos escribir $$\ln(x^2)=2\ln(x)$$ pero, si sustituimos $-1$ a, tenemos $$\ln(1)=2\ln(-1)=2\pi i$$ que, en primer lugar, se ve como un problema, ya que $\ln(1)=0$, pero si $e^{i\pi}=-1$, entonces el cuadrado que da $e^{2i\pi}=1$ - así que, realmente, decir $\ln(1)=2\pi i$ es, en cierto sentido, no que loco, y puede ser considerado un igual solución válida. Esencialmente, el problema surge porque el logaritmo es inherentemente multi-valor - si $e^x=y$, entonces también lo hace $e^{x+2\pi i}=y$. Una versión más precisa y general de la identidad sería: $$2ni\pi= \ln(x^2)-2\ln(x)$$ para algunos entero $n$ y esto basta para que funcione sobre cualquier opción de que el valor de $\ln(x)$ y funciona en todo el plano complejo, mientras que otras identidades, es probable que sólo el trabajo en los números reales positivos. Si estamos trabajando en sólo los positivos números reales, la diferencia de $\ln(x^2)-\ln(x)$ tendría ningún componente imaginario, por lo que este podría reducir a $0=\ln(x^2)-2\ln(x)$, pero tenemos que ser más cuidadosos en dominios más grandes.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\log x^2=2\log x$ sólo se aplica si $x>0$.

Para la ecuación: $\log x^2=2$, es fácil ver que $x^2=100$, y, por tanto, $x=\pm 10.$

Answer 3

Como siempre en el álgebra, los bits dentro de los corchetes se calcula en primer lugar. Así que si usted sustituto $x=-10$ en la ecuación se obtiene $$LHS=\log((-10)^2)=\log(100)=2=RHS\ .$$ Por lo tanto, $x=-10$ es una solución de la ecuación.

Answer 4

Deje $\xi \in \mathbb R$ ser tal que:

$$\xi = \ln |x| \text{ for some $x\in\mathbb R$ }\Rightarrow e^{\xi}=|x|\Rightarrow e^{m\xi }=|x|^m \Rightarrow m\xi=\ln |x|^m \Rightarrow \boldsymbol{m\ln |x| = \ln |x|^m}.$$ Esto funciona no sólo para el logaritmo natural, sino a cada base de un logaritmo.

En particular,$-\log(x^2)= -\log(|x|^2)=2\log |x|.$, por Tanto, a la derecha y a tu profesor que está mal.