Probablemente estoy perdiendo algo obvio, pero me he estado preguntando cuál es la motivación por la necesidad de los componentes de la $A_\mu$ en un local de la trivialización de un medidor de conexión en un suave principal $G$-paquete de mentir en $\mathfrak{g}$, la Mentira álgebra de $G$. Puedo ver que esto le da un par de buenas propiedades; por ejemplo, en un local de la trivialización que se asegura de que en virtud de un medidor de transformación de $A'_\mu=gA_\mu g^{-1}+g\partial_\mu g$ se encuentra en $\mathfrak{g}$, y que la curvatura de la forma $F=dA+A\wedge A$ se encuentra en $\mathfrak{g}$ (desde $\mathfrak{g}$ es cerrado bajo la Mentira de soporte). Pero hay una más intrínseca o geométrica de razón que $A_\mu$ debe ser en $\mathfrak{g}$? Gracias.
Respuestas
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En primer lugar, nunca me ha gustado trabajar con los principales paquetes; vector haces parecer más fácil y más natural para mí. Segundo, nunca me gusta pensar en abstracto principal $G$-paquetes. Yo prefiero la fijación de una representación de $G$ y la visualización de los principales $G$ bundle como un marco reducido paquete asociado con un vector paquete.
Así que vamos a $E$ ser un rango de $k$ vector paquete y $F$ en el paquete de la arbitraria marcos en $E$ (esta es una de las principales $GL(k)$-bundle). A continuación, $GL(k)$ actúa sobre el derecho en $F$. Dado un subgrupo $G$$GL(k)$, vamos a $F_G$ ser un subbundle de $F$ que si $f \in F_G$, entonces también lo es $f\cdot g$ por cada $g \in G$.
El ejemplo principal es el $E = T_*M$ $F_G$ es el paquete de bases ortonormales de el espacio de la tangente con respecto a una métrica de Riemann.
¿Qué es la propiedad fundamental que queremos un $G$-conexión a satisfacer? Así, cualquier conexión le permite paralelo traducir un marco arbitrario $f \in F$ a lo largo de una curva. Nos gustaría que el $G$-conexión debe ser tal, que si $f \in F_G$, entonces el paralelo traducción permanece en $F_G$. Esto conduce a la definición correcta de una $G$-conexión.
Como Mariano señala en su comentario, esto se deduce de la definición de una conexión en un principio $G$-bundle $\pi: P \to M$.
En cada una de las $p \in P$, el núcleo de $\pi_* : T_pP \to T_{\pi(p)}M$ define la vertical subespacio de $T_pP$. Vamos a llamar a $V_p$. Es atravesado por el vector fundamental de los campos de la $G$-acción en $P$. Ya que esta acción es libre, las fibras son los principales espacios homogéneos y, por tanto, $V_p$ es isomorfo a la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$. Una conexión (a la Ehresmann) es un equivariant elección de la horizontal subespacio $H_p$ complementarios a $V_p$. Por lo tanto, se puede definir como el núcleo de una 1-forma $\theta$ con valores en el adjunto de la representación de $G$ (a partir de equivariance de la horizontal subespacio).
El medidor de campo en la pregunta es, entonces, el pullback a través de una sección local de la conexión 1-forma. Por lo tanto localmente es una 1-forma en $M$ con valores en la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$.
Así que la razón de que el medidor de campo es $\mathfrak{g}$valores es el equivariance de la de la conexión (en el sentido de Ehresmann).
Si usted entonces preguntar por qué impone equivariance, una respuesta es que es la condición natural en este contexto, pero tal vez alguien tiene una razón convincente.
Siempre me parece útil pensar acerca de Cartan geometrías de primera son menos "abstracto" que los principales paquetes y arrojar nueva luz sobre cosas como la geometría de Riemann.
Para una buena introducción a ver
http://www.emis.de/journals/SIGMA/2009/080/sigma09-080.pdf
(busque el hámster en la página 4!)
o en el siguiente buen libro
http://www.amazon.com/Differential-Geometry-Generalization-Erlangen-Mathematics/dp/0387947329
No estoy seguro acerca de la matemática orígenes, pero el original físico motivación fue el Yang y Mills intento de lidiar con el aproximado de SU(2)-la simetría de los nucleones (protones y neutrones). El gran paso fue (como yo lo entiendo) cuando Gell-Mann (y Ne'eman, de forma independiente a la misma hora) se dio cuenta de que un diagrama de etiquetado observado experimentalmente partículas se determinó el peso diagrama para SU(3). Él hizo algunas predicciones en una conferencia:
tras la presentación en el Fuerte las interacciones de las partículas extrañas por G. A. Nieve, tanto Ne'eman y Gell-Mann levantaron sus manos para pedir permiso para hablar. El presidente llama Gell-Mann, que fue el más eminente físico de ambos, y Gell-Mann, anunció que "[...] debe buscar la última partícula llamado, digamos, Ω-, con S=-3, I=0. [Aquí, me es isospin.] En 1685 MeV es sería metaestable y debe caries por interacción débil [...]"
y el resto era el camino óctuple.
Por supuesto, directora $G$-paquetes y las conexiones en ellos había sido de alrededor durante bastante tiempo antes de (Simons famoso señaló este hecho a Yang más adelante).
