¿Cuál es la raíz cuadrada de $i^4$ ?

Question

¿Qué es el $\sqrt{i^4}$ ?

$i^4$ = $(i^2)^2$ Así es $\sqrt{i^4}$ = $\sqrt{(i^2)^2}$ = $i^2$ = $-1$ ?

O es $\sqrt{i^4}$ = $\sqrt{1}$ = $1$ ?

Cuando lo conecto a mi TI-89 Titanium, obtengo $1$ .

Edita: Ahora entiendo por qué $i^4 \neq -1$ . $$\sqrt{x^2} = \left|{x}\right| $$ Así que $$\sqrt{(i^2)^2} = \left|i^2\right| = \left|-1\right| = 1$$

Answer 1

La respuesta es $1$ . La razón por la que no es $-1$ es porque, para llegar ahí, inherentemente se divide la raíz cuadrada en un producto de raíces cuadradas como

$$\sqrt{(i^2)^2} = \sqrt{i^2} \sqrt{i^2}$$

Esto no es válido para los números no reales.

Answer 2

$i^4=1$ y $1$ tiene dos raíces cuadradas, $1$ y $-1$ . Sin embargo, cuando dice el raíz cuadrada, deduzco inteligentemente que te refieres a la raíz cuadrada principal. Según las convenciones habituales, es decir $1$ .

Answer 3

No existe "la" raíz cuadrada de un número complejo, porque no existe una función raíz cuadrada definible como continua en todos los $\mathbb C$ . El número complejo $i^4=1$ tiene dos raíces cuadradas, y en el dominio complejo hay (sólo un) poco que nos ayude a elegir una de ellas sobre la otra. Si sólo estás en el dominio real $\mathbb R$ entonces un número no negativo tiene una raíz cuadrada preferente, la positiva; pero una vez que se salta a los complejos, la historia se vuelve mucho más confusa.

Answer 4

Creo que debería ser $-1$

tenga en cuenta que $$i=e^{\left(\frac{\pi}2+2k\pi\right)i}$$ $$i^4=e^{4\left(\frac{\pi}2+2k\pi\right)i}=e^{\left(2\pi+8k\pi\right)i}$$ $$\sqrt{i^4}=e^{\frac12\left(2\pi+8k\pi\right)i}=e^{\left(\pi+4k\pi\right)i}=-1$$