¿Un toro y la función de Weierstrass P?

Question

Deje $\wp$ ser la función de Weierstrass.

Por lo que yo entiendo, $\wp$ mapas del toro a$CP^1 \times CP^1$, de la siguiente manera:

$a \mapsto (\wp(a),\wp'(a)) = (z,w)$

Además, la imagen de este mapa se encuentra en el ajuste a cero del polinomio $P(z,w) = 4(z-e_1)(z-e_2)(z-e_3) - w^2.$

Lo que no entiendo es la descripción de la inversa de este mapa, que supuestamente es la integral de la forma diferenciada $\frac{dz}{w}$ $\infty$ a un punto de $Q$ a lo largo de un camino de $c$.

1. No entiendo lo $\infty$ significa aquí.
2. No entiendo por qué esto es a la inversa.

De forma heurística, veo que

\begin{equation} \int_\infty^Q \frac{dz}{w} = \int_0^z \frac{\wp'(u)}{\wp'(u)} du = \int_0^a du = a. \end{equation}

Pero, por desgracia, en el cálculo anterior no tiene mucho sentido. Supongo que estoy tratando de pull-back mediante el establecimiento $z=\wp$$w=\wp'$. Pero no es este un mapa en el plano complejo, y no el Toro?

También, ¿por qué es el infinito el punto de rama?

Más en general, vamos a $w^2 = p(z)$ con grado de $p$ impar. ¿Por qué es el infinito uno de los puntos de ramificación, y ¿por qué no es un punto de ramificación cuando el grado de $p$ es aún?

Gracias por su tiempo!

Answer 1

Es mejor pensar que la asignación a $\mathbb C P^2$ más que un producto de $\mathbb C P^1$s. El punto de $\infty$ a continuación, es el único punto en el infinito en la cúbico $y^2 = 4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3).$

También, la integral depende de la trayectoria, no sólo el extremo; la ambigüedad en el valor de la integral si usted acaba de especificar los criterios de valoración está dada por la integración de más de un bucle cerrado, es decir, a los representantes de la 1 de la homología. Estas integrales abarcan un entramado $\Lambda$ $\mathbb C$ (el original de celosía con respecto a la que definió $\wp$), y para las integrales realmente tomar valores en $\mathbb C/\Lambda$, no en $\mathbb C$.