La afirmación que pides es cierta siempre que se den algunas condiciones en la categoría abeliana: que haya suficientes projetos, que existan todos los colímitos y que todos los colímitos filtrados sean exactos.
Supongamos primero que un complejo de co-cadena $A^\bullet$ está acotada por encima. En este caso, podemos encontrar un cuasi-isomorfismo $P^\bullet \to A^\bullet$ con $P^\bullet$ un complejo de proyectivos siempre que haya suficientes proyectivos en la categoría abeliana. Este es un resultado clásico: se puede obtener construyendo una resolución de Cartan-Eilenberg de $A^\bullet$ y tomando su complejo total, pero también se puede dar una prueba elemental por inducción. Inductivamente, supongamos que para todo $i > n$ hemos construido objetos proyectivos $P^i$ diferenciales $d_P^i : P^i \to P^{i+1}$ y morfismos $f^i : P^i \to A^i$ que conmutan con las diferenciales y que inducen isomorfismos $\ker(d_P^{i+1})/\mathrm{im}(d_P^i) \to H^{i+1}(A^\bullet)$ . Desde $A^\bullet$ está acotada por encima, se cumple el caso base de la inducción, ya que podemos tomar simplemente $P^i = 0$ para todos lo suficientemente grande $i$ . El hecho de que el mapa $f^{n+1} : P^{n+1} \to A^n$ conmuta con los diferenciales nos dice que hay un mapa inducido $\ker(d_P^{n+1}) \to Z^{n+1}(A^\bullet)$ . Sabemos que $B^{n+1}(A^\bullet) \subset Z^{n+1}(A^\bullet)$ . Si formamos el pullback $\ker(d_P^{n+1}) \times_{Z^{n+1}(A^\bullet)} B^{n+1}(A^\bullet)$ como hay suficientes proyectivos podemos encontrar un epimorfismo $$ P^n \twoheadrightarrow \ker(d_P^{n+1}) \times_{Z^{n+1}(A^\bullet)} B^{n+1}(A^\bullet). $$ Ahora hay obviamente un mapa $d_P^n : P^n \to P^{n+1}$ que es factores a través de $\ker(d_P^{n+1})$ así que $d_P^{n+1} \circ d_P^n = 0$ . También hay un mapa $P^n \to B^{n+1}(A^\bullet)$ y tenemos un epimorfismo $A^n \twoheadrightarrow B^{n+1}(A^\bullet)$ por lo que podemos construir un mapa $f^n : P^n \to A^n$ utilizando el hecho de que $P^n$ es proyectiva. Ahora, si hacemos un poco de búsqueda de diagramas, podemos demostrar que las hipótesis inductivas se siguen cumpliendo, lo que completa la inducción y nos produce un cuasi-isomorfismo $f^\bullet : P^\bullet \to A^\bullet$ con $P^\bullet$ un complejo de proyectiles.
La diferencia entre complejos de co-cadena y complejos de cadena es notacional, pero a veces a la gente le gusta que sus complejos de co-cadena estén concentrados en grados no negativos y que sus complejos de cadena estén concentrados en grados no negativos. La prueba anterior demuestra que podemos encontrar cuasi-isomorfismos $P^\bullet \to A^\bullet$ cuando $A^\bullet$ está, por ejemplo, concentrada en grados no positivos, lo que, tras un cambio de notación, demuestra que podemos encontrar cuasi-isomorfismos $P_\bullet \to A_\bullet$ de complejos de cadenas cuando $A_\bullet$ se concentra en grados no negativos.
En cualquier caso, volvamos a pensar sólo en los complejos de co-cadena. Sea $A^\bullet$ sea un complejo arbitrario (es decir, posiblemente ilimitado). Fijar un número entero $n$ . Sabemos que el (buen) truncamiento $\tau_{\leq n} A^\bullet$ está acotado por encima, por lo que podemos encontrar un cuasi-isomorfismo $f_n^\bullet : P^\bullet_n \to \tau_{\leq n} A^\bullet$ donde $P^\bullet_n$ es un complejo de proyectivas. Si hacemos un poco de lío, podemos demostrar que podemos extender esto a un cuasi-isomorfismo $f_{n+1}^\bullet : P^\bullet_{n+1} \to \tau_{\leq n+1}A^\bullet$ con $P_{n+1}^\bullet$ un complejo de proyectiles. Más precisamente, por "extender" quiero decir que hay un mapa $P^\bullet_n \to P^\bullet_{n+1}$ que es la identidad en todos los grados estrictamente menores que $n$ y tal que el siguiente diagrama de complejos conmuta. $$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} P_n^\bullet & \ra{} & P_{n+1}^\bullet \\ \da{f_n^\bullet} & & \da{f_{n+1}^\bullet} \\ \tau_{\leq n} A^\bullet & \ra{} & \tau_{\leq n+1} A^\bullet \\ \end{array} $$ Ahora bien, como suponemos que existen colímites, podemos tomar el colímite de estos mapas $$ P^\bullet := \mathrm{colim} P_n^\bullet \to \mathrm{colim} \tau_{\leq n} A^\bullet = A^\bullet. $$ Está claro que $P^\bullet$ será un complejo de proyectivos. Además, este colímite que estamos tomando es un colímite filtrado, y si asumimos que los colímitos filtrados en nuestra categoría abeliana son exactos, entonces este mapa está garantizado para ser un cuasi-isomorfismo.
Esto da una prueba de la afirmación por la que preguntabas, pero probablemente debería señalar que pedir un cuasi-isomorfismo $P^\bullet \to A^\bullet$ con $P^\bullet$ un complejo de proyectivos no es algo muy útil a menos que $A^\bullet$ está acotada por encima. Más concretamente, me refiero a lo siguiente. Un complejo $P^\bullet$ de objetos proyectivos se denomina dg-proyectivo si cumple la siguiente propiedad: siempre que $C^\bullet$ es acíclico, cualquier mapa $P^\bullet \to C^\bullet$ es nulo-homotópico. Para los complejos superiores acotados, ser dg-proyectivo es equivalente a ser proyectivo en todos los grados, pero esto no es cierto para los complejos no acotados. Cuando $A^\bullet$ está acotado por encima, la prueba que dimos anteriormente muestra que siempre podemos encontrar un cuasi-isomorfismo $P^\bullet \to A^\bullet$ con $P^\bullet$ un complejo dg-proyectivo, pero para ilimitado $A^\bullet$ demostrando que siempre existe un cuasi-isomorfismo $P^\bullet \to A^\bullet$ con $P^\bullet$ un complejo dg-proyectivo es más complicado.
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Alguna categoría abeliana ? Ninguna posibilidad, si la categoría abeliana no tiene suficientes projetivos. En caso contrario, si hablamos de complejos encadenados de módulos sobre un anillo, se trata de un resultado clásico de Cartan y Eilenberg. Sin embargo, la viñeta del superíndice me hace pensar que quieres algo sobre complejos de co-cadenas...
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@Zhen Lin: Esto es una respuesta, no un comentario.
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¡Lo habría publicado como respuesta si el OP hubiera utilizado viñetas de subíndice! (¿Es cierto que cada cadena (en grados de co-cadena no negativos) tiene una resolución proyectiva).
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@Zhen Lin: Es cierto, al menos para los módulos. Una forma de decirlo es que la categoría de complejos (posiblemente ilimitados) tiene una estructura modelo en la que los cuasi-isomorfismos son equivalencias débiles y los objetos cofibrantes son ciertos tipos de complejos de proyectivos. En el capítulo 2 del libro de Mark Hovey sobre categorías modelo se puede encontrar una afirmación más precisa.
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¿Cuál es la diferencia entre los complejos de co-cadena y los complejos de cadena? ¿No es sólo una cuestión de notación?
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Y no he entendido si su conclusión es que siempre es cierto en las categorías de módulos