Encontrar una fórmula simple para

Question

<blockquote> <p>$$\binom{n}{0}\binom{n}{1}+\binom{n}{1}\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n-1}\binom{n}{n}$$</p> </blockquote> <p>Todo pude pensar hasta ahora es esta expresión en una suma. Pero no necesariamente simplifica la expresión. Por favor, necesito su ayuda.</p>

Answer 1

Sugerencia: es el coeficiente de $T$ en la expansión binomial de $(1+T)^n(1+T^{-1})^n$, que equivale a decir que es el coeficiente de $T^{n+1}$ en la expansión de $(1+T)^n(1+T^{-1})^nT^n=(1+T)^{2n}$.

Answer 2

Escribir la suma $\displaystyle\sum0^{n-1}\binom{n}{k}\binom{n}{k+1}$, por la interpretación combinatoria, esto es: $$\sum{0}^{n-1}\binom{n}{k}\binom{n}{k+1}=\binom{2n}{2k+1}$ $

La mano derecha lado $\binom{2n}{2k+1}$ es el número de formas para elegir un total de $2k+1$ $2n$. Por el lado izquierdo, dividir $2n$ en dos grupos de tamaño $n$ de cada uno, entonces si elegir $k$ de un grupo, entonces debe elegir $2k+1-k=k+1$ de otro grupo, suma sobre todos los posibles $k$, entonces obtendrá $\sum_0^{n-1}\binom{n}{k}\binom{n}{k+1}$