Si resuelve el $x\in\mathbb R$, $4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0$.

Question

<blockquote> <p>Si $x\in\mathbb R$, resolver %#% $ de #% donde $$4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0$ denota la parte entera del número. $\lfloor x\rfloor$ y $\lfloor x\rfloor\le x$, donde $\lfloor x\rfloor=x-\{x\}$ marca la parte de la fracción del número. $\{x\}$.</p> </blockquote> <p>No estoy seguro si todos estos denotions son convenios que siempre significan lo que he mencionado. Además, no estoy muy seguro si $0\le\{x\}<1$, ya que el problema no menciona, pero parece evidente que es más probable es que de esa manera.</p>

Answer 1

Así que me he decidido a responder a mi propia pregunta. Deje $k\le x < k+1$$k\in\mathbb Z$. A continuación, $$4x^2-40k+51=0$$

Ahora tenemos que encontrar la solución a $x$ en términos de $k$. Que solución tiene que pertenecer al intervalo de $[k\:;k+1)$. Podemos encontrar fácilmente que $x$ se $$x=\pm\sqrt{10k-12.75}$$

Como ya he dicho, la solución tiene que estar en el intervalo de, por lo $$\pm\sqrt{10k-12.75}\ge k\tag{1}$$

Estamos hablando sólo de números reales, por lo tanto $$10k-12.75\ge0$$

Lo que muestra que $$k\ge 1.275\tag{2}$$ $$\implies x>0\implies x=\sqrt{10k-12.75}$$

(He, así que se elimina la $\pm$ signo de la $x$)

Así que sólo vamos a hablar de números positivos ($x,k$ son positivas). Esto nos permite cuadrado ambos lados de la desigualdad de $(1)$ (recuerde que no es necesario que el $\pm$ más): $$10k-12.75\ge k^2$$

Lo que muestra que $k\in [1.5\:;8.5]\tag{3}$

También sabemos que $$\sqrt{10k-12.75}< k+1$$

Y haciendo lo mismo podemos ver que $k\in (-\infty\:;2.5)\cup(5.5\:;+\infty)\tag{4}$

$(2)(3)(4)\Rightarrow k=2, 6, 7, 8$.

Podemos sustituir este a $x=\sqrt{10k-12.75}$ y conseguir que el $$x=\frac{\sqrt{29}}{2},\frac{3\sqrt{21}}{2},\frac{\sqrt{229}}{2},\frac{\sqrt{269}}{2}.$$

Answer 2

Desde $$x-1\lt \lfloor x\rfloor \le x,$ $ tenemos $$\begin{align}x-1\lt \frac{4x^2+51}{40}\le x&\iff 4x^2-40x+91\gt0\ \text{and}\ 4x^2-40x+51\le 0\&\iff 1.5\le x\lt 3.5\ \text{or}\ 6.5\lt x\le 8.5.\end{align}$ $

1) cuando $1.5\le x\lt 2\Rightarrow \lfloor x\rfloor=1$, $$4x^2-40\times 1+51=0$ $ no tiene ninguna solución real.

2) cuando $2\le x\lt 3\Rightarrow \lfloor x\rfloor=2$, $$4x^2-40\times 2+51=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{29}/2\Rightarrow x=\sqrt{29}/2.$ $

3) cuando $3\le x\lt 3.5\Rightarrow \lfloor x\rfloor=3$, $$4x^2-40\times 3+51=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{69}/2.$ $ % pero estos no satisfacer $3\le x\lt 3.5.$

4) cuando $6.5\lt x\lt 7\Rightarrow \lfloor x\rfloor=6$, $$4x^2-40\times 6+51=0\Rightarrow x=\pm 3\sqrt{21}/2\Rightarrow x=3\sqrt{21}/2.$ $

5) cuando $7\le x\lt 8\Rightarrow \lfloor x\rfloor=7$, $$4x^2-40\times 7+51=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{229}/2\Rightarrow x=\sqrt{229}/2.$ $

6) cuando $8\le x\le 8.5\Rightarrow \lfloor x\rfloor=8$, $$4x^2-40\times 8+51=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{269}/2\Rightarrow x=\sqrt{269}/2.$ $

Por lo tanto, la respuesta es $$x=\frac{\sqrt{29}}{2},\frac{3\sqrt{21}}{2},\frac{\sqrt{229}}{2},\frac{\sqrt{269}}{2}.$ $

Answer 3

Tenga en cuenta que cuando $i$ es impar entonces $3|(2^{i}-2)$ y $\lfloor \frac {2^{i}}{3} \rfloor = \lfloor \frac {2^{i}-2+2}{3} \rfloor = \lfloor \frac {2^{i}-2}{3} + \frac {2}{3} \rfloor = \frac {2^{i}-2}{3}$.
También cuando $j$ es uniforme, entonces $3|(2^{j}-1)$ y $\lfloor \frac {2^{j}}{3} \rfloor = \lfloor \frac {2^{j}-1+1}{3} \rfloor = \lfloor \frac {2^{j}-1}{3} + \frac {1}{3} \rfloor = \frac {2^{j}-1}{3}$. Por lo tanto, $$ \sum_{r=0}^{2010} \lfloor \frac {2^{r}}{3} \rfloor = \sum_i \lfloor \frac {2^{i}}{3} \rfloor + \sum_j \lfloor \frac {2^{j}}{3} \rfloor = \sum_i \frac {2^{i}-2}{3} + \sum_j \frac {2^{j}-1}{3}$ $