Que $p\in (1,\infty)$ y $(E\alpha){\alpha
Respuesta
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No sé si este es trivial suficiente para el OP, pero voy a publicar sólo en caso de que. El principal hecho que utilizamos aquí para dar un contraejemplo es el hecho de que $\ell_p(\ell_2)$ no es isomorfo a un subespacio de $\ell_p \oplus \ell_2$; no puede ser una más 'formal' de referencia para este resultado, pero como no tengo institucional de acceso a la revista permítanme punto el lector interesado hacia la Proposición 23 de Ted Odell las notas de la conferencia en $L_p$ espacios en http://congreso.us.es/cidama/activos/cursos/EOdellfull.pdf (y las referencias contenidas en el mismo.)
Ahora, consideremos el OP de la situación en la $E_0=\ell_2$$E_\alpha=\ell_p$$0<\alpha<\omega_1$. En este caso tenemos que $\ell_p(E)$ contiene un subespacio isomorfo a $\ell_p(\ell_2)$. Así que supongamos a modo de contraposición que en este caso tenemos que $E$ es isomorfo a $\ell_p(E)$. No existe un subespacio $X$ $E$ isomorfo a $\ell_p(\ell_2)$. Como $X$ es separable existe una countably conjunto infinito $S\subseteq \omega_1$ tal que $(x_\alpha)_{\alpha<\omega_1}\in X$ $x_\beta\neq 0$ implica $\beta \in S$; podemos suponer, además, que el $0\in S$. En particular, $\ell_p(\ell_2)$ incrusta isomorphically en $(\bigoplus_{\alpha\in S}E_\alpha)_{\ell_p}$, que a su vez es isomorfo a $\ell_p\oplus \ell_2$ - contradiciendo la afirmación de que el párrafo anterior.
