¿Todos los primos son primos de Euclides?

Question

Estaba aprendiendo el teorema de Euclides. Si repetimos su construcción (debidamente modificada para dar sólo primos), ¿nos saltaremos algún primo? Formalmente:

$p_1 = 2$ y $p_{n + 1} = \text{smallest} \; q \in \mathbb{N} - \{1\} \; \text{s.t} \quad q \; | \;(p_1\cdot ... \cdot p_n + 1)$

En otras palabras, $p_{n + 1}$ es el número más pequeño que divide el número hecho por la construcción de Euclides sobre $\{p_1, ..., p_n\}$ .

Llame al Primas de Euclides (a partir de $2$ ). Los primeros números de esta secuencia son: $2,3,7,43,13,53,5,...$ Observe cómo se salta $5$ pero luego vuelve a ella. ¿Hay algún primo que no aparezca en esta secuencia? Si es así, ¿podemos elegir un $p_1$ ¿para evitarlo? ¿Podemos predecir los números omitidos basándonos en $p_1$ ?

Pregunta relacionada

¿Existe un número infinito de primos construidos como en la demostración de Euclides?

Answer 1

Como las referencias en la respuesta a esta pregunta decir, esto es un problema abierto; la secuencia $(p_n)$ se conoce como Secuencia de Euclides-Mullin .

Answer 2

Se ha resuelto un problema relacionado. En lugar de tomar el factor primo más pequeño, considera tomar el factor primo más grande.

Se demostró en 2012 (Brooker), que esta secuencia omite infinitamente muchos primos. Una prueba elemental por P. Pollack y E. Trevino se puede leer aquí: http://pollack.uga.edu/mullin.pdf

En concreto, demostraron lo siguiente:

Sea $q_1 = 2$ . Supongamos que hemos definido $q_j$ para todos $1 \leq j \leq k$ , dejemos que $q_{k+1}$ sea el mayor factor primo de $1 + \Pi^k_{j=1} q_j$ . Entonces la secuencia $\{q_i\}$ omite infinitos primos.