¿Qué es el * exacta * fuerza de consistencia de $MK$?

Question

Es bien sabido que la existencia de un cardinal inaccesible prueba $Con(MK)$. Joel Hamkins tiene un bonito blog (http://jdh.hamkins.org/km-implies-conzfc/) que explica lo que obtienes de $MK$ y en particular que $MK \vdash Con_n(ZFC)$ cada $n$ [aquí $Con_n(ZFC)$ es la iteración de las coherencia condena $n$-muchas veces, por ejemplo, $Con4(ZFC) ={df} Con(Con(Con(Con(ZFC))))$].

Pregunta: Es la fuerza de la consistencia exacta de $MK$ conocido?

Answer 1

Gracias por tus amables palabras sobre mi blog. Permítanme tratar de responder a su pregunta.

Para describir la consistencia de la fuerza de una teoría o de afirmación, nos debe comparar la consistencia de que la teoría o en la afirmación de que de otros más familiares o punto de referencia las teorías o afirmaciones. Para ejemplo, la consistencia de la fuerza de ZFC además de la continuidad hipótesis es ZFC sí mismo; la consistencia de la fuerza de ZF+DC+todos los conjuntos de Lebesgue medible es el mismo que ZFC + hay un inaccesible cardenal. Comparamos nuestra teoría dada o declaración un hito en la teoría.

El problema con tu pregunta, entonces, es que la KM es la misma, por ejemplo un hito en la teoría. La consistencia exacta de la fuerza de KM: KM sí. Tu pregunta es un poco como preguntar, "¿Qué es la consistencia exacta de la fuerza de ZFC, además de una inaccesible el cardenal?" La respuesta sería: ZFC, además de un cardinal inaccesible.

Pero, naturalmente, dicha respuesta no le satisface. Tal vez usted podría explicar qué tipo de respuesta que estabas buscando?

Mientras tanto, es posible explicar cómo la fuerza de KM se relaciona con otros grandes cardenales. No cuadra exactamente con ninguno de los habituales grandes cardenales. (Aunque me vista de KM a sí mismo como una especie de gran cardenal axioma.)

Los límites inferiores. El post en mi blog para que enlace se explica que KM es estrictamente más fuerte que ZFC en la consistencia de la fuerza, y el argumento muestra que hay que KM implica que hay un clase adecuada club de cardenales $\kappa$$V_\kappa\prec V$. Por lo tanto, estos son todos los mundanos cardenales, y por elementarity cada uno de ellos serán un límite del mundo de los cardenales. Así que uno puede comenzar a subir los grados de la mundanalidad, en el estilo de hyperMahloness, y ver que no es estacionaria clase adecuada de hyperworldly cardenales, hiper-hiper mundana cardenales, y así sucesivamente.

Otro límite inferior es proporcionada por mi reciente artículo de V. Gitman, J. D. Hamkins, Abrir la determinación de la clase de juegos, en la revisión. Es decir, podemos demostrar que el principio de clopen determinación de clase adecuada juegos es equivalente a más de GBC para el principio de ETR de primaria la recursión transfinita, que permite la recursión transfinita más clase adecuada y bien fundado de las relaciones, que no son necesariamente de la teoría. Ese principio también da la verdad del predicado, lo que conduce a la vida mundana de los cardenales como en el párrafo anterior. Estos las teorías son estrictamente más débil que el GBC + $\Pi^1_1$-comprensión, que también es estrictamente más débiles que en el KM.

Límite superior. Mientras tanto, KM es estrictamente más débil que ZFC + es un cardinal inaccesible. Esto es simplemente porque si $\kappa$ es un cardinal inaccesible, entonces $\langle V_\kappa\, V_{\kappa+1}\rangle$ es un modelo de KM, y por lo tanto, desde inaccesible cardenal podemos deducir $\text{Con}(KM)$ y $\text{Con}(KM+\text{Con}(KM))$ y más, repitiendo muchas veces.

Equiconsistencies. Resulta que KM es equiconsistent con un natural de fortalecimiento de KM denotado por $\text{KM}^+$, lo que incluye la clase-principio de elección: $\forall x\exists X\ \varphi(x,X)\a\existe Y\forall x\ \varphi(x,Y_x)$. El axioma dice que si para cada conjunto $x$ hay una clase de $X$ con un cierto propiedad, entonces usted puede encontrar una clase de $Y\subset V\times V$, cuya rebanadas $Y_x$ servir como testigos. Gitman, Johnstone y he demostrado que esta afirmación no es comprobable en KM a sí mismo, pero uno se puede construir un modelo de los más fuertes de la teoría a partir de cualquier modelo de KM, por lo que son equiconsistent.