Conjunto medible con respecto a la medida de un producto, pero no respecto de otro

Question

Para $p \in (0,1)$, vamos a $\mu_p$ la medida en $\{0,1\}$$\mu_p(\{1\}) = 1 - \mu_p(\{0\}) = p$. Podemos extender $\mu_p$ a un producto de la medida en la countably infinito producto $\{0,1\}^\omega$, que también podemos denotar por $\mu_p$.

Hay un subconjunto de a $\{0,1\}^\omega$ que es medible con respecto a $\mu_p$, pero no con respecto a $\mu_q$, para algunas de las $p,q \in (0,1)$?

Y a una pregunta de seguimiento, en caso de que la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa:

Que los subconjuntos de a $\{0,1\}^\omega$ son medibles con respecto a todos los $\mu_p$ medidas?

Answer 1

Para la primera pregunta, sí, muchos de estos subconjuntos de existir. Por ejemplo, supongamos $A_p\subset\{0,1\}^\omega$ denota el conjunto de secuencias de $(x_n)$ tal que $\sum_{n=1}^N x_n/N$ converge a$p$$N\to\infty$. A continuación, los conjuntos de $A_p$ son distintos para diferentes valores de $p$, e $\mu_q(A_p)=1$ si $p=q$ $0$ lo contrario. En particular, cada subconjunto de $A_p$ $\mu_q$- medible si $p\neq q$, pero no todo subconjunto de a $A_p$ $\mu_p$- medible.

Para tu segunda pregunta, se desprende del párrafo anterior que $E\subseteq \{0,1\}^\omega$ $\mu_p$- medibles para todos los $p$ fib $E\cap A_p$ difiere de un conjunto de Borel por un $\mu_p$-null establecido para cada una de las $p$. Esta es probablemente tan explícita una condición como usted puede esperar obtener. Tenga en cuenta que, en particular, los conjuntos de $A_p$ son distintos, por lo que son libres para elegir a $E\cap A_p$ independientemente para cada valor de $p$ cuando la construcción de un conjunto de $E$.