Muestran que

Question

En el curso de la resolución de Geometría de Riemann Por Peter Petersen Cap. 2, me quedé en el siguiente problema:

Demostrar que en un Riemmanian colector de si $R$ $(1, 3)$ tensor de curvatura y $Ric$ $(0, 2)$ tensor de Ricci, a continuación, $(div~R) (X, Y,Z) = (\nabla_X Ric) (Y,Z) − (\nabla_Y Ric) (X,Z).$

Estoy absolutamente desorientado. Alguien me puede ayudar a resolverlo?

Answer 1

Considere un marco ortonormal$\{e_i\}.$ Luego, por definición,

$$ (\mathrm{div} R)(X,Y,Z) = \sum_{i=1}^n g((\nabla_{E_i}R)(X,Y,Z),E_i).$$ Now, having in mind the second Bianchi identity, $$(\nabla_UR)(V,W)+(\nabla_VR)(W,U)+(\nabla_WR)(U,V)=0,$ $ one tiene

$$g((\nabla_{E_i}R)(X,Y,Z),E_i)=-g((\nabla_{X}R)(Y,E_i,Z),E_i)-g((\nabla_{Y}R)(E_i,X,Z),E_i).$$ But, since $ \ nabla $ conmuta con trazas, es

$$\sum_{i=1}^ng((\nabla_{Y}R)(E_i,X,Z),E_i)=(\nabla_YRc)(X,Z)$$ and $$\sum_{i=1}^ng((\nabla_{X}R)(E_i,Y,Z),E_i)=-(\nabla_XRc)(Y,Z).$ $ Por lo tanto, hemos obtenido la igualdad deseada.