¿La inclusión de regímenes afines en esquemas de conservación pushouts?

Question

Deje $K$ ser un campo.

¿Cuál es un ejemplo de dos $K$-álgebra morfismos $R\to T$ $S\to T$ tal que $\operatorname{Spec}(R\times_T S)$ no es el pushout del diagrama $$ \operatorname{Spec}(S)\leftarrow\operatorname{Spec}(T)\rightarrow\operatorname{Spec}(R) $$ en la categoría de esquemas? ¿Un ejemplo de existir con $R$, $S$, $T$ finitely generado? ¿Un ejemplo de existir con $R$, $S$, $T$ y $R\times_T S$ finitely generado?

En particular, el exisitence de un ejemplo sería demostrar que la inclusión functor de afín esquemas en los regímenes no conserva pushouts.

Answer 1

El functor $\textrm{Spec} : \textbf{CRing}^\textrm{op} \to \textbf{Sch}$ no conserva pushouts, y esto es intencional. En efecto, considerar la proyectiva de la línea de $\mathbb{P}^1_k$ sobre un campo $k$. Esto se logra mediante el encolado de dos copias de $\mathbb{A}^1_k$ a lo largo de $X = \mathbb{A}^1_k \setminus \{ 0 \}$, y de hecho, tenemos un pushout diagrama en $\textbf{Sch}$: $$\etiqueta{1} \begin{array}{ccc} X & \to & \mathbb{A}^1_k \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb{A}^1_k & \to & \mathbb{P}^1_k \end{array}$$ La aplicación de la global secciones functor este diagrama, podemos obtener un pullback diagrama en $\textbf{CRing}$: $$\etiqueta{2} \begin{array}{ccc} k & \to & k[t^{-1}] \\ \downarrow & & \downarrow \\ k[t] & \to & k[t, t^{-1}] \end{array}$$ Sin embargo, si aplicamos $\textrm{Spec}$ diagrama (2) hacemos no volver al diagrama (1) por $\mathbb{P}^1_k$ no es afín. Así que hemos deseado contraejemplo.

Answer 2

El pushout de esquemas incluso no tiene que existir en absoluto. Hay un ejemplo que he aprendido de Anton Geraschenko y Brian Conrad.

Si $X$ es un esquema integral con un no-genéricos cerrados punto de $\eta$ de manera tal que los puntos cercanos son densos en $X$ (por ejemplo, un trivial afín variedad), entonces el coequalizer de $\eta \rightrightarrows X \sqcup X$ no existe en la categoría de esquemas. Y cada coequalizer en una categoría con co-productos puede ser descrito como un pushout, aquí es el pushout de $\eta \sqcup \eta \to X \sqcup X$$\eta \sqcup \eta \to \eta$. De ahí, por ejemplo, $\mathrm{Spec}(k(x)) \leftarrow \mathrm{Spec}(k(x) \times k(x)) \to \mathrm{Spec}(k[x] \times k[x])$ no tiene pushout.

Una condición suficiente (pero no necesaria) para $\mathrm{Spec}(R \times_T S) = \mathrm{Spec}(R) \cup_{\mathrm{Spec}(T)} \mathrm{Spec}(S)$ es que el $R \to T$ es surjective, vea el papel Encolado y Esquemas un Esquema Cerrado sin puntos por Karl Schwede.

En general, pushouts de los esquemas son muy delicados y es muy difícil decir algo acerca de ellos. Un error común (incluso en los artículos publicados) es asumir que el olvidadizo functor para rodeada de espacios conserva pushouts. Aunque esto puede ser cierto, por alguna razón, no está claro a priori. Esto significa que es muy difícil comprobar si un pushout, o más generalmente colimits, existe o no existe. Por ejemplo, es bastante fácil ver que la colimit de $\mathbb{A}^0 \hookrightarrow \mathbb{A}^1 \hookrightarrow \mathbb{A}^2 \hookrightarrow \dotsc$ en la categoría de anillos de espacios no es un esquema, pero por supuesto, esto no prueba que no hay colimit en la categoría de esquemas. Lo único que sé es lo siguiente: Si una colimit de esquemas $X = \mathrm{colim~}_i X_i$ existe,$\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\mathrm{lim~}_i \Gamma(X_i,X_i)$. La razón es que el $\Gamma : \mathsf{Sch} \to \mathsf{CRing}^{\mathrm{op}}$ medico adjunto del functor $\mathrm{Spec}$, por lo que conserva todas colimits. Pero a priori no sabemos nada sobre el conjunto de la estructura de la gavilla de $X$ o de la topología de $X$.

Answer 3

Para un ejemplo sencillo donde el semitroquelado de esquemas afines no se conserva por la inclusión de esquemas, vea mi respuesta a http://mathoverflow.net/questions/29311 .