¿Se puede agotar todo dominio con subconjuntos compactos *conectados*?

Question

Dejemos que $D \subset \Bbb R^n$ sea un conjunto conectado abierto. Me gustaría exhibir una secuencia creciente de subconjuntos compactos conexos de $D$ convergiendo a $D$ .

Por ejemplo, para una bola podríamos tomar una secuencia de bolas cerradas dentro de ella de radio $r-\frac 1n$ .

El usuario SteamyRoot demostró que el agotamiento cerrado habitual que generaliza el ejemplo anterior, dado por $D_n = \{ x\in D: \mathrm{dist}(x, \partial D) \geq \frac 1n \}$ no siempre está conectada (considerando la forma de las gafas), incluso antes de modificarla para que esté acotada. La consideración de una secuencia infinita de gafas conectadas entre sí en una fila cada vez más pequeña muestra que ésta no estará conectada por muy pequeña que sea la elección $n$ .

Tampoco podemos hacerlo tomando la unión de todos los cuadrados cerrados de lado $2^{-n}$ contenida en su totalidad en $D$ . De nuevo, esto no está conectado debido al mismo contraejemplo (vasos infinitos), aunque este ejemplo sí tiene tal agotamiento.

Answer 1

Fijar un punto $x_0 \in D$ . Para cada $A$ subconjunto de $D$ que contiene $x_0$ denotar por $A'$ el componente de $A$ que contiene $x_0$ . Supongamos ahora que tenemos $D_m$ una secuencia creciente de subconjuntos abiertos de $D$ que contiene $x_0$ y con la unión $D$ . Entonces $D_m'$ (el $x_0$ componentes) también cubren $D$ . De hecho, considere $x \in D$ . Existe un camino $\gamma$ de $x_0$ a $x$ contenida en $D$ . Desde el $D_n$ de la portada $D$ y $\gamma$ es compacto existe $n$ para que $\gamma \subset D_m$ . Entonces $x\in D_m'$ .

Tomemos ahora cualquier secuencia creciente de compactos $K_m$ cuyos interiores cubren $D$ ( por ejemplo $K_m= \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ ||x|| \le m \textrm { and } d(x, \mathbb{R}^n \backslash D ) \ge \frac{1}{m} \}$ ). Entonces $L_m = K_m'$ será un agotamiento de $D$ con compactos conectados.

$\bf{Added:}$ En la construcción anterior, también podemos tomar $L_m$ al cierre de la $x_0$ componente conectado de $\mathring{K_m}$ ( el interior de $K_m$ ). La ventaja es que el interior de $L_m$ es conectado y su cierre es $L_m$ Así que $L_m$ se comporta mejor.

En general, si $L$ es un subconjunto compacto del conjunto abierto $D$ Consideremos un recubrimiento del espacio completo con una red de $\epsilon$ cubos de manera que la diagonal de los cubos $\sqrt{n} \cdot \epsilon < d(L, \mathbb{R}^n \backslash D)$ . Considere $\tilde L$ para ser la unión de todos los cubos que intersecan $L$ . Entonces $\tilde L$ es un sistema compacto y $L \subset \tilde L \subset D$ . Si, además, $L$ está conectado entonces $\tilde L$ está conectado. Si $L$ ha conectado el interior $\mathring{L}$ y es el cierre de su interior, entonces lo mismo vale para $\tilde{L}$ . Así que podemos conseguir agotamientos compactos bastante bien comportados.

Answer 2

Sí. Se puede hacer esto jugando con una secuencia arbitraria de conjuntos compactos agotando el espacio. En particular, elijamos primero cualquier secuencia creciente $C_1\subseteq C_2\subseteq C_3\subseteq\ldots$ de conjuntos compactos con $\bigcup_i C_i=D$ .

En primer lugar, queremos engordar el conjunto para evitar los problemas que surgirían si estudiáramos un conjunto como $\{1/n:n\in\mathbb Z\}\cup \{0\}$ que es compacto pero tiene infinitas componentes conectadas. Para ello, para cada $i$ definir un conjunto $$C'_i=\{x\in D:d(x,\partial D)\geq d(x,C_i),\,d(x,0)\leq \max_{p\in C_i}d(p,0)+1\}.$$ Este conjunto sigue siendo compacto, siendo cerrado y acotado por definición. Obsérvese que $C_i\subseteq C'_i$ y que $C'_i\subseteq C'_{i+1}$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que si $y\in C'_i$ entonces hay algo de $x\in C_i$ minimizar $d(y,x)$ por la compacidad. Se puede ver que el segmento de línea de $y$ a $x$ está contenida en $C'_i$ . Además, se puede comprobar que cada $x\in C_i$ está en el interior de $C'_i$ .

En particular, encontramos la siguiente afirmación:

$C_i$ está cubierto por los interiores de las componentes conectadas de $C'_i$ .

Como los componentes conectados son por definición disjuntos y cada uno contiene un elemento de $C_i$ en su interior, esta cubierta no tiene subcubiertas adecuadas. Por compacidad, es por tanto finita y por tanto $C'_i$ tiene un número finito de componentes conectados.

Ahora, podemos definir un conjunto $C''_i$ eligiendo un conjunto de caminos $\gamma$ en $D$ que conectan los componentes entre sí. Eligiendo estos caminos de forma coherente, podemos construir una secuencia creciente $C''_i$ de conjuntos compactos que agotan el espacio.