¿Cómo integrar $\int \frac{(ar)}{\sqrt{a^2 - r^2}} dr $?

Question

¿Cómo integrar $\int \frac{(ar)}{\sqrt{a^2 - r^2}} dr $?

He intentado hacer el $ u = a^2 - r^2 $ pero parece que no puedo conseguir $ -a\sqrt{a^2 - r^2} $

¡Cualquier ayuda se agradece! Gracias.

Answer 1

Sugerencia. Hacer el cambio de variable u $$ = a ^ 2 - r ^ 2, \quad du =-2rdr $$ dando $$ \int \frac{(ar)} {\sqrt {una ^ 2 - r ^ 2}} dr =-\frac a2\int \frac{du}{\sqrt{u}}. $$

Answer 2

Es absolutamente la mejor opción para sustituir. Se obtiene

$$\int \frac{ar}{\sqrt{a^2-r^2}} dr=-\frac{a}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du$$

Answer 3

Así $u=a^2-r^2$ es una buena idea. Con esta sustitución, obtenemos $du = -2r dr$ y $$\int \frac{ar}{\sqrt{a^2 - r^2}} dr= -\frac{a}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} du = -a\sqrt{u} +C = -a\sqrt{a^2-r^2}+C$ $ como se esperaba.

Answer 4

Aunque este tipo de integral se realiza funciones trigonométricas o $u$ sustitución de, en este caso uno debe notar

$$ \frac{d}{dr}\sqrt{a^2-r^2}=-\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}} $$

Así uno encuentra, sin necesidad de utilizar la sustitución que

$$ \int\frac{ar}{\sqrt{a^2-r^2}}dr= -a\sqrt{a^2-r^2}+c$$