Indican que no hay ninguna transformación afín que lleva un círculo a una hipérbola en $\mathbb{R}^2$

Question

"Demostrar que el círculo estándar (definido por $f(x,y) = x^2 + y^2 - 1$) no es equivalente a la hipérbola estándar (definida en $g(x,y) = x^2 - y^2 - 1$). Es decir, mostrar que no hay $[A,\overline{s}] \in \text{Aff}(\mathbb{R}^2)$ tal que $[A,\overline{s}] \cdot f(x,y) = g(x,y)$. Compruebe que existe es tal un $[A,\overline{s}]$ si permitimos $A \in \text{GL}_2(\mathbb{C}).$"

He redujo esto a demostrar que no hay $a,b,c,d,s,t \in \mathbb{R}$, que $$f(ax+as+by+bt,\: cx + cs + dy+dt) = g(x,y).$ $ $$\Rightarrow(ax+as+by+bt)^2+(cx + cs + dy+dt)^2 - 1=x^2-y^2-1$ $ ¿cómo debo proceder? Expandiendo esta expresión probablemente no es la mejor manera de hacerlo.

Answer 1

<ul> <li><p>En $\mathbb R^2$, un círculo es un conjunto acotado y una hipérbola no es.</p></li> <li><p>Una transformación afín inversible del plano de mapas conjuntos acotados a conjuntos acotados.</p></li> </ul> <p>(Uno puede sustituir «limitada» por «compactos» o «conectado»...)</p>

Answer 2

El otro Mariano es, por supuesto, de hacer trampa: esta es la geometría algebraica, después de todo...

El caballeroso forma de hacerlo es observar cómo los coeficientes de la parte homogénea de grado superior los cambios al hacer una transformación afín y, a continuación, invocar Sylvester Ley de la Inercia.

En más detalle... Vamos a $f\in \mathbb R[x,y]$ ser un polinomio de grado dos, que se puede escribir de manera única como $$f(x,y) = v^tav+b^tv+c$$ with $v$ the vector $\left(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix}\right)$, $$ a symmetric $2\times 2$ matrix, $b\in\mathbb R^2$ and $c\in\mathbb R$.

Si $[A,\bar s]$ es una transformación afín, entonces $$[A,\bar s]\cdot f=v^ta'v+b'^tv+c'$$ for some new $un'$, $b'$ and $c'$ which we can compute explicitly. Most interestingly, we have $$a'=A^taA.$$ Sylvester's Law of Inertia then implies that $un$ and $'$ tienen el mismo número de autovalores positivos, el mismo número de autovalores negativos, y el mismo número de autovalores cero.

Ahora, la matriz $a$ correspondiente a su $f$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, mientras que la de $g$$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$. Ya que tienen diferentes números de autovalores negativos, no hay transformación afín a la asignación de uno a otro.

Answer 3

¿Por qué cree que cuando usted simplemente puede calcular?

Así $f(x,y)=x^2+y^2-1$. Considerar la transformación afín dada por el $$\left{\begin{array}{l}x\leftarrow ax+by+s\y\leftarrow cx+dy+t\end{array}\right.$$ Applying it to $f $ we get $$f(ax+by+s, cx+dy+t)=(a^2+c^2) x^2+2(a b + c d)xy+(b^2 + d^2)y^2+\text{terms of lower degree}.$$ If this is to be equal to $g(x,y) = x ^ 2-y ^ 2-1 $, then, in particular, looking at the coefficient of $y ^ 2$ we see that we must have $% $ $b^2+d^2=-1.$por supuesto, esto no va a funcionar...

Answer 4

Vamos a llamar $f_0$, $f_1$ y $f_2$ las partes de $f$ cuales son homogéneas de grado $0$, $1$ y $2$, respectivamente, de manera que, en particular,$f=f_2+f_1+f_0$, y del mismo modo para $g$.

Si $[A,s]$ es invertible transformación afín y $[A,s]\cdot f=g$, entonces se verifica fácilmente que $[A,s]\cdot f_i=g_i$ por cada $i\in\{0,1,2\}$. En particular, $$[A,s]\cdot(x^2+y^2)=x^2-y^2.$$ Pero dos polinomios que son affinely equivalente de cualquiera de los dos irreductible o ambos reducible, sin embargo, $x^2+y^2$ es irreductible e $x^2-y^2$ no lo es.

Este argumento es "geométrico": estamos usando el hecho de que un círculo no tiene asintótico de las direcciones, mientras que la hipérbola tiene dos, y que la propiedad de tener asymtotic las direcciones se conserva bajo afín de equivalencia.