Que $\alpha$ ser tal que el $0\leq \alpha \leq 1$. ¿Desde $\sin n$ no tiene límite ya que se $n$ $\infty$, estoy teniendo problemas con encontrar si es convergente la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\sin \left(2\pi\sqrt{n^2+\alpha^2\sin n+(-1)^n}\right)$ $? Gracias.
Respuesta
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Esta serie es convergente .
Como$n$ tiende a$+\infty$, podemos escribir $$ \begin{align} u_n &:=\sin \left( 2\pi \sqrt{n^2+\alpha^2 \sin n+(-1)^n}\right)\\\\ &=\sin \left( 2\pi n \:\sqrt{1+\frac{\alpha^2\sin n}{n^2}+\frac{(-1)^n}{n^2}}\right)\\\\ &=\sin \left( 2\pi n \:\left(1+\frac{\alpha^2\sin n}{2n^2}+\frac{(-1)^n}{2n^2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^4}\right)\right)\right)\\\\ &=\sin \left( 2\pi n +\frac{\pi\alpha^2\sin n}{n}+\frac{\pi(-1)^n}{n}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)\\\\ &=\sin \left(\frac{\pi\alpha^2\sin n}{n}+\frac{\pi(-1)^n}{n}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)\\\\ &=\frac{\pi\alpha^2\sin n}{n}+\frac{\pi(-1)^n}{n}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right) \end {align} $$ Ahora recordar que$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin n}{n}$ es convergente, además $$ \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ frac {\ sen n} {n} = \ Im \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ frac {e ^ {in}} {n} = \ Im \ left ( - \ log (1-e ^ i) \ right) = \ frac {\ pi-1} {2}. $$ Entonces está claro que su serie inicial$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_n $ es convergente, siendo la suma de las series convergentes.
