Subgrupos completamente invariables

Question

La siguiente proposición es un teorema bien conocido pero no sé donde puedo encontrar la prueba.

Que $G$ ser un grupo finito. Luego cada subgrupo de $G$ es un subgrupo completamente invariable solamente si $G$ es el Grupo cíclico.

Gracias de antemano

Answer 1

(1) los subgrupos de Sylow debe ser completamente invariante, por lo tanto normal.

(2) a Continuación, $G$ es producto directo de los subgrupos de Sylow (es decir, es nilpotent).

(3) Si $H$ es finita $p$-grupo de tal forma que cada subgrupo es totalmente invariante, en particular, cada subgrupo de $H$ es normal en $H$. Tratamos de probar (por inducción) que $H$ es cíclico (si es impar) o posible de cuaterniones (en orden).

[Sugerencia: en la inducción, tenga en cuenta que si un grupo satisface la propiedad de ser cada subgrupo es normal, esta propiedad es cierto también para el subgrupo así como cociente, por lo que la inducción se puede aplicar].

(4) En cuaterniones grupo, el subgrupo $\langle i\rangle$ $\langle j\rangle$ puede ser intercambiada por una automorphism: $i\mapsto j, j\mapsto i$.

(5) Para todos los subgrupos de Sylow que debería ser normal y cíclico, $G$ debe ser cíclica.

Answer 2

La parte fácil: Si $G$ es cíclico, a continuación,$\forall T \in End(G), \exists m \in \mathbb{Z}: \forall g \in G, T(g) = m \cdot g$; por lo $H \leq G \implies \forall h \in H: T(h) = m \cdot h \in H \implies T(H) \leq H$; es decir, luego cada subgrupo es totalmente invariante.

Por el contrario, supongamos $G$ es finito, y $\forall H \leq G, \forall T \in End(G): T(H) \leq H$.

Desde $Aut(G) \subset End(G)$, esto nos indica que el $\forall H \leq G, g\in G: g^{-1}Hg = H$; es decir, todos los subgrupos de $G$ son normales y por lo $G$ es un grupo de Dedekind y es Abelian o tiene directa sumando $Q_8$. Pero $Q_8$ no es totalmente invariante (como p Grupos de notas anteriores), por lo $G$ es finito Abelian.

Supongamos $G$ ha sumandos $H \cong Z_{p^a}, K \cong Z_{p^b}$,$a\leq b$; por lo que el $G \cong H \times K \times B$ algunos $B$.

A continuación, $T : (h,k,b) \mapsto (0, p^{b-a}h, b)$ es un endormorpism sino $T(H)$ no es un subgrupo de $H$.

Por lo tanto, no puede ser sólo un sumando $Z_{p^{n_p}}$ por cada $p$ dividiendo $|G|$, y por lo tanto $G$ es la suma directa de coprime subgrupos cíclicos, y por lo tanto $G$ es cíclico.