Una suryección continua de los números irracionales al conjunto de Cantor

Question

Me pregunto si existe una función de este tipo que sea continua y sobreyectiva $$f:\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \rightarrow C$$ donde $C$ es el conjunto de Cantor.

Cuando hice tal ejercicio pero para $f:C \rightarrow \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ No fue tan difícil, porque $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ no es un conjunto compacto entonces no existe una función continua del conjunto de Cantor sobre él. Una razón similar fue para $f:C \rightarrow \mathbb{Q}$ .

Intenté utilizar la compacidad, la conectividad o los componentes conectados (para demostrar que no existe tal función) pero no obtuve resultados.

Answer 1

Definir $f\colon \mathbb{Q}^c \to C$ de la siguiente manera:

• Para $x\in (-\infty,1)\cap \mathbb{Q}^c$ , dejemos que $f(x)$ sea el punto más cercano en $C$ a $x$ con $f(x) = x$ si $x\in C$ . Por ejemplo, los puntos en $(1/3,1/2)$ mapa a $1/3$ y señala en $(1/2,2/3)$ mapa a $2/3$ .

• Para $x\ge 1$ , dejemos que $f$ mapear el intervalo $(n,n+1)\cap \mathbb{Q}^c$ a $q_n$ , donde $q_1,q_2,\ldots$ es una enumeración de los puntos racionales de $C$ .

Es fácil comprobar que $f$ es continua y suryente.

Answer 2

Puede utilizar sólo una variante del Función de signo de interrogación de Minkowski enviando un número irracional $\alpha\in\mathbb{R}^+$ con representación de fracción continua dada por $$ \alpha=\left[\alpha_0;\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\ldots\right] $$ en: $$ f(\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{3^{\alpha_0+\ldots+\alpha_n}}\in C.$$

Answer 3

Todo número irracional puede expresarse como una fracción continua $[a_0; a_1, a_2, \dotsc]$ y además los números irracionales son homeomorfos al producto contable de los enteros, así que mapea a $$\sum_{i=0}^\infty {1 + (-1)^{a_i} \over 3^i}$$ La subjetividad es evidente.