Si $K=\mathbb{Q}\left(\sqrt{2},\sqrt{3}, u\right)$, donde $u^2 = (9 - 5\sqrt{3})(2-\sqrt{2})$, muestra que $K/\mathbb{Q}$ es normal, y encuentra $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$.
Descubrí que el polinomio mínimo de $u^2$ sobre $\mathbb{Q}$ es $f = t^4 - 72t^3 + 720t^2 - 864t + 144$, por lo que $u$ satisface $g = t^8 - 72t^6 + 720t^4 - 864t^2 + 144$, pero no estoy seguro de cómo mostrar que $K$ es un campo de descomposición de $g$. ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!
Sea $M = \Bbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$. Claramente, $\Bbb Q \subset M$ es normal de grado $4$ y $M \subset M(u)$ es normal de grado $2$, por lo que hay que mostrar que cada conjugado de $\Bbb Q$ de $u^2$ también tiene sus raíces cuadradas en $K.
Entonces, para cada automorfismo $\sigma \in Gal(M/\Bbb Q)$, hay que demostrar que $\sigma(u^2)u^2$ es un cuadrado en $M$. En particular, es suficiente mostrar que $(9-5\sqrt 3)(9+5\sqrt 3)$ y $(2-\sqrt 2)(2+\sqrt 2)$ son cuadrados en $M.
$(9-5\sqrt 3)(9+5\sqrt 3) = 81-75 = 6$, y $\sqrt 6 \in M.
$(2-\sqrt 2)(2+\sqrt 2) = 2$, y $\sqrt 2 \in M.
Esto muestra que los conjugados de $u$ son $\pm u, \pm \frac {\sqrt 2}{2-\sqrt 2}u, \pm \frac{\sqrt 6}{9-5\sqrt 3}u$, y $\pm 2\sqrt 3 /u$, y todos ellos están en $K.
Puedes obtener la acción de esas transformaciones en $\sqrt 2$ y $\sqrt 3$ al observar lo que hacen a $u^2.$.p>
Luego puedes calcular la tabla de multiplicación del grupo de Galois y ver que es isomorfo al grupo de cuaterniones.
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En tus pasos cada vez que eleves al cuadrado una ecuación, considera cambiar el signo en un lado para llegar a otra raíz de $f$ o $g.