Ecuación diferencial

Question

[1] $y'' - 4y' + 4y = 0$

Generalmente problema como éstos tendrán la respuesta en el % de forma $C_1e^a + C_2e^b ... $donde $a $ y $b$ son las raíces de la ecuación característica $e^{rt}$

$$ y = e^{rt} $$ $$ y' = re^{rt}.. y'' = r^2 e^{rt} $$ $$ r^2e^{rt} - 4e^{rt} + 4e^{rt} = 0$$ $$ e^{rt}(r-2)(r-2) = 0$$ $$ y= C_1e^{2t} + C_2e^{2t}$$

Sin embargo, esto no es correcto ya que la respuesta es $ y = C_1e^{2t} + C_2te^{2t}$! No sé por qué.

[2] para un problema similar, $y'' + 3y' - 4y = 0 $ hice exactamente lo mismo y la respuesta es %#% $ #%

¿Cómo son [1] y [2] diferentes? Ellos tienen el mismo aspecto, por qué hace [2] solución tienen un factor extra de t.

Answer 1

Considere la posibilidad de $\rm D$ como la derivación del operador en el espacio de las funciones que se desea estudiar. Este dice que $\mathrm D f = f'$.

Entonces su ecuación diferencial se puede escribir como "Encontrar el núcleo de la aplicación lineal operador $\rm D^2 - 4 \rm D + 4$". La teoría de la ecuación diferencial que indica que este núcleo tiene dimensión 2.

Vamos a encontrar una base de, $\rm D^2 - 4 D + 4$ puede ser reescrita como $(\rm D - 2)^2$, por lo que si sé una base del núcleo de $\rm D - 2$ será parte de una base que se quiere encontrar. Aquí es la función de $x \mapsto e^{2x}$. Pero esto no es suficiente, debido a que el núcleo de $\rm D -2$ sólo tiene dimensión 1. A continuación tenemos que añadir $x \to x e^{2x}$ que no está dejando en el núcleo de $\rm D - 2$.

Para comparar con el segundo ejemplo, aquí va a encontrar el núcleo de $\rm D^2 + 3 D - 4$$(\rm D - 1)(D + 4)$. Ahora, como antes, el kernel tiene dimensión 2, pero como la ecuación característica tiene dos raíces, usted puede tomar un vector a partir de la base de $\rm D -1$ y se completa con otro vector de la base de que el núcleo de $\rm D + 4$.

En conclusión : todo depende de si la ecuación característica tiene múltiples raíces o no.

Answer 2

La diferencia es que [1] tiene una raíz repetida. Cuando tienes un % de raíz $r$que es repetido $n$ veces, su contribución a la solución es de la forma:

$$ (c_0 c_1 t + \cdots + c_n t ^ n) e ^ {t r} $$

Cuando $n = 1$, esto se convierte en:

$$ (c_0 c_1 t +) e ^ {t r} $$