Ningún segmento de la forma $\left(\dfrac{3k+1}{3^{m}},\dfrac{3k+2}{3^{m}}\right)$ donde $k,m\in\mathbb{Z}^{+}$ tiene un punto en común con el conjunto de Cantor. ¿Hay una prueba simple de esta declaración?
Respuestas
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Considere la posibilidad de $$P_m=\left\{0,\frac{1}{3^m},\ldots,\frac{3^m-1}{3^m},1\right\}$$ the uniform partition of $[0,1]$ in $3^m$ intervals of length $3^{-m}$, and $$I_m^j=\left(\frac{j-1}{3^m},\frac{j}{3^m}\right),$$ $j=1,2,\ldots, 3^m$, los intervalos determinados para esa partición. Si no estoy equivocado con la indexación, lo que le $k$ variar a lo largo de $\{0,1,\ldots,3^{m-1}-1\}$ usted obtiene el $I_m^j$ $j$ incluso, y que los intervalos son precisamente los intervalos eliminado en la $m$-ésima etapa de la construcción del conjunto de Cantor. Ver esto, para una explicación de la última frase.
Joe Lencioni
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Creo que se debería señalar que algunos autores definen el conjunto de Cantor el conjunto de todos los $x$ $[0,1]$ cuya base de tres expansión puede ser escrito utilizando solamente los dígitos $0$$2$. En este caso, el problema no es tan trivial.
Pero el intervalo de $({1\over3}, {2\over3})$ es el conjunto de los números en $[0,1]$ cuya base de tres de expansión debe tener un $1$ en el primer dígito (los extremos de $1/3$ $2/3$ puede ser escrito en la base de tres utilizando sólo los dígitos $0$ y $2$: ${1\over3}=0.02\overline2_3$ y ${2\over3}=0.2_3$). Así, este intervalo no está en el conjunto de Cantor.
Los intervalos de $({1\over9}, {2\over9})$ $({7\over9}, {8\over9})$ dar los números no ha quitado cuya base de tres de expansión debe tener un $1$ en el segundo dígito (los extremos se puede escribir en la base de tres utilizando sólo los dígitos $0$$2$). Así, estos intervalos no están en el conjunto de Cantor.
Continuando de esta manera, uno puede mostrar que $x\in[0,1]$ tiene una base de tres de expansión utilizando sólo los dígitos $0$ $2$ si y sólo si pertenece a ningún segmento de la forma $\bigl( {3k+1\over 3^m}, {3k+2\over 3^m}\bigr) $.
Chris Kerridge
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Se puede argumentar que esta por inducción, utilizando las definiciones de $E_n$ Rudin utiliza para definir el conjunto de Cantor. La hipótesis inductiva sería $$ E_n \text{ no contiene ningún segmento de la forma } \left(\frac{3k+1}{3^m}, \frac{3k+2}{3^m}\right) \text{ para } m = 1, \ldots , n. $$
Tenga en cuenta que si $x \in E_n$, $1-x \in E_n$ así que usted puede demostrar que si $E_n$ contiene un segmento que contiene uno en el tercio inferior. Tenga en cuenta también que si $x \in E_{n+1}$ es en el tercio inferior, a continuación,$3x \in E_n$. Ahora puede probar la hipótesis inductiva por la contradicción, y como el conjunto de cantor es la intersección de todos los $E_n$ el conjunto de Cantor no contiene dichos segmentos.
