Pregunta sobre el teorema del valor intermedio y el teorema fundamental del cálculo

Question

Recibí una pregunta en un examen anterior, pero no tenía ni idea de cómo hacerlo. Sé que debo utilizar el MVT, el IVT y el FTC, pero no estoy seguro de dónde. La pregunta es

Supongamos que $f(x)$ es integrable en $[a,b]$ con $f(x)\geq0$ en $[a,b]$ y que $g(x)$ es continua en $[a,b]$ . Asumiendo que $f(x)g(x)$ es integrable en $[a,b]$ , demuestran que $\exists c\in[a,b]$ para que $$\int^b_af(x)g(x)dx=g(c)\int^b_af(x)dx.$$

Gracias de antemano.

Answer 1

$g(x)$ toma sus valores máximos y mínimos $M$ y $m$ en $[a,b]$ . Di, $g(x_1)=M$ y $g_(x_2)=m$ . Entonces $$g(x_1)\int_a^b f(x)\,dx=M\int_a^b f(x)\,dx \ge\int_a^b f(x)g(x)\,dx\ge m\int_a^b f(x)\,dx=g(x_2)\int_a^b f(x)\,dx.$$ ¿Ahora puedes ver por qué hay un $c\in[a,b]$ con $$\int_a^b f(x)g(x)\,dx=g(c)\int_a^b f(x)\,dx?$$