Me preguntaba si alguien podría explicar para qué se utilizan los grupos de ramificación superior. ¿Qué información contienen y por qué son importantes?
Respuestas
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luka3rd
Puntos
1
Algunas cosas más o menos aleatorias que se me ocurren:
- Existe la fórmula para calcular el diferentes de una extensión de campo en términos de los tamaños de los grupos de ramificación superiores.
- Los grupos de ramificación superiores corresponden a los grupos de unidades locales que surgen naturalmente; es decir, su imagen bajo el mapa de Artin son precisamente las potencias superiores de las unidades locales 1.
- De hecho, históricamente es más básico que el punto anterior el hecho de que las primeras demostraciones muy cuidadosas de Kronecker-Weber (es decir, antes de que existiera la teoría de campos de clases) por parte de Hilbert implicaban en gran medida el uso de los grupos de ramificación superiores.
- Resulta que proporcionan la solución correcta a los factores de Euler de las funciones L en lugares "malos" (donde "malo" depende de su contexto.) Esto requeriría una digresión bastante larga, así que permítanme sólo mencionar el Teorema de Hasse-Arf y el Director de orquesta de Artin.
bennettleben
Puntos
23
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En la teoría básica de Galois, para añadir a las respuestas de Cam: proporcionan información sobre si una extensión es mansa o salvajemente ramificada y, por tanto, dan una imagen más completa
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Desde el punto de vista de la teoría de gavillas: por ejemplo, los grupos de ramificación más elevados proporcionan un importante invariante llamado conductor de Swan, que se utiliza en la fórmula de Ogg-Shafarevich para calcular las características de Euler de las curvas. Esta fórmula ha sido generalizada por Deligne, Laumon y, más recientemente, Kato-Saito para dimensiones superiores.
