Para el grupo fundamental, es fácil de visualizar cuando dos bucles son homotópicos. Me preguntaba si hay alguna forma de ver el problema equivalente para la homología. Supongo que esto puede ser complicado para la homología singular, pero ¿hay buenas maneras de pensar sobre esto para decir simplicidad y homología celular?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por definición, dos $k$-cadenas de $a$ $b$ son homólogas si representan la misma homología de la clase; es decir, que $a-b = \partial C$ algunos $k+1$-de la cadena de $C$. Vamos a restringir nuestra atención a las superficies para el momento en que, por simplicidad, y vamos a establecer $k=1$ sólo para ver cómo va todo esto. Un $2$-cadena ser sólo algunos de dos dimensiones del subsuelo, posiblemente con límite. Por ejemplo, $C$ podría ser un cilíndrica del subsuelo que se encuentra dentro de el toro (un cuarto de un donut, si se quiere). El límite de $C$ en este caso consistirá en dos bucles, y (teniendo debidamente orientado todo) estos dos bucles será homólogo, precisamente porque juntos han vinculado a un subsuelo.
Del mismo modo, en algunos simplemente conectados en el espacio, como los $\mathbb{R}^2$, dicen, todos los $1$-cadenas son homólogas a cero, ya que siempre podemos encontrar una $2$ cadena para "rellenar" los huecos; si tenemos un mapa del círculo, siempre podemos ampliarlo a un mapa de la $2$-disco. Pero, por supuesto, no siempre podemos rellenar agujeros en los espacios más interesantes de la topología; es decir, un bucle que va alrededor del agujero en un toro no puede ser llenado, por lo tanto, este no va a representar el cero en la homología.
Para resumir, se puede "buscar" para homóloga elementos por ver si puede representar su diferencia como el límite de una cadena de una dimensión superior.
La introducción al Capítulo 2 de Hatcher $\textit{Algebraic Topology}$ tiene una buena discusión motivar a la transición de la homotopy a la homología de que usted puede disfrutar mirando.
