La distribución normal no puede transformarse en Laplace mediante una transformación aditiva

Question

Estoy tratando de encontrar diferentes métodos de demostrar que no existe ninguna variable aleatoria $V$ que puede transformar aditivamente la variable aleatoria normal estándar en una variable aleatoria de Laplace.

Formalmente, queremos demostrar que no hay ninguna variable aleatoria variable aleatoria $V$ independiente de $N$ (normal estándar) tal que \begin{align} W=V+N, \end{align} donde $W$ es de media cero y con parámetro de Laplace $b\ge 1$ . Queremos demostrar que esto es imposible para todo $b\ge 1$ .

Prueba 1 (mediante funciones características): Tengo una prueba mediante funciones características que es la siguiente \begin{align} \phi_W(t)=\phi_V(t) \phi_N(t) \rightarrow \phi_V(t)=\frac{\phi_N(t)}{\phi_W(t)} \end{align} ahora sabemos que $\phi_N(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}$ y $\phi_W(t)=\frac{1}{1+b^2 t^2}$ Así que \begin{align} \phi_V(t)= \frac{e^{\frac{t^2}{2}}}{1+b^2 t^2} \end{align} Claro que esto no puede ser una función característica ya que hay valores de $t$ para lo cual $\phi_V(t) >1$ .

Demostración 2 (Mediante la analiticidad después de la convolución) Esta prueba fue sugerida por D.Thomine (ver comentarios más abajo). Dado que la convolución "mejora" la regularidad, el pdf de $W$ debe ser analítica, sin embargo, la pdf de la distribución de Lapalace no es analítica en cero.

Mi pregunta: ¿Cuáles serían otros métodos para mostrar esto?

También estaba pensando en el siguiente enfoque. Sabemos que \begin{align} c_1 e^{-|w|/b} &= E[ c_2 e^{-|X+w|^2/2} ] \end{align}

¿Podemos demostrar que \begin{align} E[ c_2 e^{-|X+w|^2/2} ] \le c_3 e^{-w^2/2} \end{align} esto llevaría a una contradicción ya que $e^{-w^2/2}$ decae más rápido que $e^{-|w|/b}$ .

Esta pregunta está relacionada con algo que pregunté aquí .

Espero sus soluciones. Gracias.

Answer 1

Lo que se utiliza para resolver este problema es que la transformada de Fourier de una gaussiana estándar decae mucho más rápido que la transformada de Fourier de $e^{-|x|}$ . Si nos guiamos un poco, esto significa que la gaussiana es mucho más suave que $e^{-|x|}$ que es algo que podemos explotar directamente.

La idea principal es clásica: añadir una variable aleatoria independiente de valor real es equivalente, a nivel de distribución, a la convolución de las densidades, y la convolución mejora la suavidad. Esto se utiliza a menudo cuando queremos tratar con una distribución suave; sólo tenemos que añadir algo de ruido aleatorio para suavizar cualquier distribución inicial.

Propuesta

Dejemos que $N$ sea una variable aleatoria normal estándar. Sea $V$ sea una variable aleatoria de valor real, independiente de $N$ . Entonces la densidad de la distribución de $N+V$ tiene una versión completa.

Prueba

Dejemos que $\mu$ sea la distribución de $V$ . Entonces $(\mathbb{R}, \mathcal{B}, \mu)$ es un espacio de medidas.

Para $M >0$ , dejemos que $G_M := \{z \in \mathbb{C}: \ |Im(z)| <M\}$ . Entonces $G$ está abierto, y para $z =: x+iy \in G$ ,

$$\left| \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} \right| = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{y^2-x^2}{2}} \leq \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{M^2}{2}}.$$

Para $z \in G_M$ y $\omega \in \mathbb{R}$ , dejemos que $f(z,\omega) := \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(z-\omega)^2}{2}}$ . Entonces $f$ es acotado, holomorfo en la primera variable y medible en la segunda. Por lo tanto, utilizando diferenciación compleja bajo la integral la función :

$$F: z \mapsto \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(z-\omega)^2}{2}} d \mu (\omega)$$

es holomorfo en $G_M$ . Como esto es cierto para todos los $M>0$ la función $F$ es holomorfo en $\mathbb{C}$ y, por tanto, entero. Pero $F$ es exactamente la distribución de $N+V$ .

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Todo lo que necesitamos para concluir es la observación de que la densidad de una variable aleatoria de Laplace nunca es suave en $0$ .