Distancia entre una Poisson y distribución Normal.

Question

Deje $X_a$ ser una variable aleatoria de Poisson distribuido con la intensidad de la $a$. Que es $$\mathbb{P}(X_a=k)= e^{-a} a^k / (k!)$$ para cualquier $k\in \mathbb{N}$. Vamos $$Y_a=(X-a)/\sqrt{a}$$ la normalización de $X_a$ que tiene una media $0$ y la varianza $1$. Deje $F_{Y_a}$ su función de distribución acumulativa. Que es $$F_{Y_a}(t)=\mathbb{P}(Y_a\leq t).$$ Deje $N$ ser la distribución normal estándar y $F_N$ su función de distribución acumulativa. Que es $$F_N(t)=\mathbb{P}(N\leq t) = \int_{-\infty}^t \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12 t^2} \mathrm{d}t.$$ Wikipedia dice

Por lo suficientemente grandes valores de $a$, (decir $a$>1000), la distribución normal con una media de $a$ y la varianza $a$ (desviación estándar $\sqrt{a}$) es una excelente aproximación a la distribución de Poisson.

Mi pregunta es: ¿Qué tan fuerte es la convergencia de $Y_a$ contra $N$ al $a\to\infty$?

Nos han convergencia en distribución : $F_{Y_a}(t) \to N(t)$ al $a\to\infty$ cualquier $t\in\mathbb{R}$.

O se puede decir más? En particular, me gustaría tener un límite superior (dependiendo $a$) para $$\int_{-\infty}^{\infty} |F_{Y_a}(t)-F_N(t)| \mathrm{d}t.$$ Yo sería más feliz si alguien viene con un límite superior para $$\int_{-\infty}^{\infty} |F_{Y_a}(t)-F_N(t)|^p \mathrm{d}t \quad \text{with }p>1.$$ ¿Qué es una buena referencia para este tipo de resultados?

Answer 1

Para la primera parte: se le llama convergencia en distribución. Es la convergencia del pointwise una secuencia de funciones a otra función. Montón de referencias que hay sobre este tema.

Parte 2: yo no soy consciente de los resultados que consolidarían la integral de la diferencia absoluta en función de $N$. Otros pueden ser capaces de campana.