Problema de la inclusión-exclusión sobre arreglos

Question

Tuve 2 preguntas sobre el uso de la inclusión-exclusión método para resolver los arreglos:

1. Cómo muchos de los arreglos de las 26 letras diferentes hay que

   a) Contener la secuencia de "el" o la secuencia de la "ayuda"
   b) no Contienen ni la secuencia de "el" o la secuencia de "matemáticas"?

2. De cuántas maneras existen para ordenar las letras de la palabra MISSISSIPPI, de modo que todos los Es son consecutivos o todos los Ss son consecutivos o todos los Ps son consecutivos

Esta es mi conjetura en las dos preguntas, ¿podría alguien ser capaz de ver mi trabajo en esto y ver si estoy en lo correcto?

1. a) Hay 26 letras del alfabeto, por lo tanto, no se $26!$ posibles arreglos que se pueden hacer. Por lo tanto $N(U)$ (que es el número de elementos en el universo) es $26!$. Por la misma razón, el número de secuencias que contienen la palabra "el" ($N(A_{the}))$$23!$ debido a que de las 26 letras, se han llevado a cabo 3. Dejando a un total de 23 cartas a organizar. También, $N(A_{aid})$ $23!$ porque una vez más 3 cartas del 26 letra del alfabeto se han movido y ya está arreglado. Por lo tanto, cuando se habla de la cantidad de arreglos que contienen "el" o "ayuda" tenemos $N(A_{the} U A_{aid})$ = $N(A_{the}) + N(A_{aid}) - N(A_{the} intersect A_{aid})$ = $(23!) + (23!) -(20!) = 5.17*10^{22}$

   b) El universo, como se dijo antes es $26!$. Además, $N(A_{the}) = 23!$$N(A_{math}) = 22!$. Por lo tanto, la disposición de las 6 cartas en el 26 letra del alfabeto ( $N(A_{the} U A_{math})$ )$20!$. También, porque En este contexto en particular, estamos tratando de encontrar una $N(Not(A_{the}) intersect Not(A_{math})) = N -N(A_{the}) - N(A_{math}) + N(A_{the} U A_{math})$, lo que viene a ser $(26!) - (23!) - (22!) + (20!) = 4.03*10^{26}$

2. El universo, o la transcripción de las 11 letras, viene a ser $11!$. Por lo tanto, La transcripción de I ($N(A_I)$) = $7!$, la disposición de los P ($N(A_P)$) = $9!$ y la transcripción de S ($N(A_S)$) = $7!$. Por lo tanto, $N(A_I U A_P U A_S) = N(A_I) + N(A_P) + N(A_S) - N(A_I intersect A_P) - N(A_I intersect A_S) - N(A_P intersect A_S) + N(A_I U A_P U A_S) = (7!) + (9!) + (7!) - (5!)-(3!)-(5!) + (1) = 372715$

Es mi trabajo o proceso de pensamiento correcto? Gracias de antemano por su ayuda, es muy apreciado!

Answer 1

1a) El razonamiento en la primera parte es el derecho, aunque no todos los detalles son. Deje $A$ el conjunto de secuencias que incluyen "el" o $B$ el conjunto de secuencias que incluyen "ayuda". Entonces $$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$$ Para $|A|$, piensan en el "" como superletter. Luego tenemos a $23$ las cartas ordinarias y una superletter. Ellos pueden estar dispuestos en $24!$ maneras.

Un cálculo similar ofertas con $|B|$$|A\cap B|$.

1b) contamos el número de elementos en el complemento ("el" o "matemáticas" o ambos), y restar de la $26!$ permutaciones de las letras del alfabeto.

Deje $P$ el conjunto de las permutaciones que contienen "," e $Q$ el conjunto de las permutaciones que contienen "matemáticas". Por el razonamiento de 1a), $|P|=24!$$|Q|=23!$. Para $|P\cap Q|$, tenemos que tener la secuencia "mathe." Hay $22!$ de estos.

2) Este es de izquierda a usted por ahora. Su estrategia general fue básicamente ACEPTAR. Pero tenga en cuenta que, por ejemplo, el número total de permutaciones de nuestro gran palabra no es $11!$. Que sería correcto si las letras eran todas diferentes. Sin embargo, no son, por lo que debemos dividir por $4!4!2!$.

Alternativamente, hay $\binom{11}{4}$ maneras de decidir a donde el me la va a ir, y para cada uno hay $\binom{7}{4}$ maneras de decidir donde la S va a ir, y para cada uno hay $\binom{3}{2}$ maneras de decidir donde el P la voluntad de ir.

Consideraciones similares se aplican a la cuenta de secuencias con restricciones.

Usted puede si usted desea color de las letras para que todos ellos distintos, conde, y luego se divide por $4!4!2!$ a lidiar con el hecho de que no son todas diferentes.