¿Por qué $f(x)=\frac{x^T Ax}{x^T x}$ ¿tiene siempre un valor mínimo?

Question

$f$ se define para todos los $x\in\mathbb{R^n}-\{0\}$ nd $A$ es una matriz simétrica $n \times n$ .

Tengo que probar que $f$ tiene un mínimo $f(x^*)$ y escribir una fórmula para $x^*$ utilizando la descomposición espectral de $A$ .

Mi intento

Desde $A$ es simétrica, por el teorema de descomposición espectral:

$$A = Q\Lambda Q^T, \text{where $ Q $ is an orthogonal matrix and $\Lambda$ is a diagonal matrix }$$

Entonces:

$$\frac{x^T Ax}{x^T x} = \frac{x^T Q\Lambda Q^T x}{x^T x} = \frac{y^T \Lambda y}{y^T y} = \frac{\sum_{i=1}^{n}\lambda_i y_i^2 }{\sum_{i=1}^{n} y_i^2}$$

Dónde $y = Q^T x.$ Muestra que $f(x)\leq \sum_{i=1}^{n} \lambda_i$ . (No sé si esta desigualdad es útil).

Estoy atrapado aquí. ¿Alguna pista?

Answer 1

Pistas:

Con lo que tienes, intenta sustituir donde $x$ es un vector propio (quizás los vectores propios cuyos valores propios correspondientes son mínimos y máximos). Esto corresponde al caso en que $y_i$ es un vector base estándar.

Otra forma de demostrar que existe un mínimo/máximo es mediante los dos hechos siguientes (1) $f(x)$ es invariante de escala (en otras palabras, si $\lambda\not=0$ entonces $f(\lambda x)=f(x)$ . Por lo tanto, $f(x)$ es realmente una función sobre un $n$ -Esfera de dimensiones. (2) Un $n$ -La esfera de dimensiones es compacta y las funciones continuas sobre conjuntos compactos alcanzan su mínimo y su máximo (y están acotadas).

Sin usar la topología, pero aún pensando en esto como una función sobre una esfera, se obtiene que $\sum y_i^2=1$ Así que estás hablando de $f(x)$ siendo una suma ponderada de los $\lambda_i$ 's, $\sum \lambda_iy_i^2$ .