Raíces cuadradas de números complejos.

Question

Calcular el % de forma $a+ib$, donde $a,b\in \Bbb R$, las raíces cuadradas de $16-30i$.

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Mi intento con $(a+ib)^2 =16-30i$ me hace llegar $a^2+b^2=16$ y $2ab=−30$. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Te voy a dar pasos. Desea $(a+bi)^2 = 16-30i$. Ampliar y comparar, usted obtener: $$\begin{cases} a^2-b^2 = 16 \ 2ab = -30\end{cases}$ $

Resolver $b$ en la segunda ecuación. Sustituir en la primera. Tienes un segundo grado ecuación de $a^2$. Usar la fórmula cuadrática para resolver $a^2$. Tiro una de las respuestas teniendo en cuenta que $a,b \in \Bbb R$. Encontrar dos valores de $a$. Cada uno tiene un valor correspondiente a $b$. Final.

Answer 2

Convertir a coordenadas polares, escriba $16-i30=\sqrt{16^2+30^2}e^{-i\arctan(30/16)+2n\pi}$. Al tomar una raíz cuadrada, encontramos

$$(16-i30)^{1/2}=(16^2+30^2)^{1/4}e^{-i\frac12 \arctan(30/16)+n\pi}$$

Entonces, para convertir a forma cartesiana, tenemos

$$(16-i30)^{1/2}=(16^2+30^2)^{1/4}\left(\cos(\frac12 \arctan(30/16)+n\pi)+i\sin(\frac12 \arctan(30/16)+n\pi)\right)$$