Considere una función $f(x) = x^4+x^3+x^2+x+1$, donde x es un entero, $x\gt 1$. ¿Cuál será el resto cuando se divide $f(x^5)$ $f(x)$?

Question

Considere una función $f(x) = x^4+x^3+x^2+x+1$, donde x es un entero, $x\gt 1$. ¿Cuál será el resto cuando se divide $f(x^5)$ $f(x)$?

$f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$

$f(x^5)=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^5+1$

Answer 1

Reescribir la expresión como %#% $ de #% la expresión $$(x^{20}-1) +(x^{15}-1)+(x^{10}-1)+(x^5-1)+1+4.$ divide los primeros cuatro términos, ya que hace de $x^4+x^3+x^2+x+1$. Así, el resto es $x^5-1$.

La idea obviamente generaliza.

Answer 2

Que $x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^5+1=(x^4+x^3+x^2+x+1)Q(x)+R(x)$.

$x^4+x^3+x^2+x+1=0$ tiene $4$complejo raíces $a_1,a_2,a_3,a_4$. Y éstos son también raíces de $x^5=1$, así que cuando $x=a1,a2,a3,a4$, la ecuación anterior se convierte en

$5=R(a_i)$ ($i=1,2,3,4$)

Esto es cierto cuando $R(x)=5$ para cada $x$ y es fácil demostrar que un polinomio de grado $3$ como este es único. Así, el resto es solo $5$ (constante).

Answer 3

Observe que $f(x^5) = f(x)(x^{16}-x^{15}+2x^{11}-2x^{10}+3x^6-3x^5+4x-4) + 5$.

Por lo que el resto será $5$.

Answer 4

$f_1(x)=x+1$

$f_1(x^5)=x^5+1$

$f_1(x^5)$, cuando dividido por $f_1(x)$ deja un resto 0.

$f_2(x)=x^2+x+1$

$f_2(x^5)=x^{10}+x^5+1$

$f_2(x^5)$, cuando dividido por $f_2(x)$ deja un resto 0.