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Recuerde que una función es como una máquina en la que para cada entrada, hay exactamente una salida. Usualmente escribimos $y = f(x)$ al $x$ denota la entrada y $y$ denota la salida. $f$ es la función (regla) que le dice a usted cómo usted puede encontrar $y$$x$.
Ok, así que ahora vamos a decir que tiene una función $f$. Vamos a llamar a la variable de entrada $t$. Así, para cada número $t$ usted obtiene la (salida) número de $f(t)$. Ahora, dados dos números de $a$$b$, usted puede encontrar la integral $$ \int_a^b f(t)\; dt. $$ Esta integral da un número. Aquí utilizamos $t$ $f(t)$ $dt$ decir que $t$ el (entrada) de la variable para la función de $f$.
Ahora, si usted elige otro $b$, entonces usted va a obtener otro número de la integral. Así, por ejemplo, usted podría tener $$ \int_a^5 f(t)\;dt, \quad \int_a^8 f(t)\;dt, \quad \int_a^{11.5} f(t)\;dt. $$ Así que, en realidad tiene una función. Vamos a llamar a la variable de entrada para esta función $x$ (no queremos utilizar la misma variable como la de $f$). Así, para cada (entrada) número de $x$ obtenemos un número (de salida): $$ \int_a^x f(t)\;dt $$ Si $x=5$, entonces usted consigue $\int_a^5 f(t)\;dt$ (un número).
No nos hemos dado a esta función un "nombre", por lo que vamos a llamar a $F$ (de nuevo, no queremos llamarlo $f$ porque ya tenemos una función diferente con ese nombre).
Así, para cada entrada de $x$ obtiene el resultado $F(x)$ y esta definida por $$ F(x) = \int_a^x f(t)\; dt. $$ Esta es entonces una nueva función: una función que la salida depende de la entrada de $x$. Lo que el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice es que (bajo las suposiciones) esta función es diferenciable (que se puede encontrar la derivada) con derivados $$ F'(x) = f(x). $$ Así, por ejemplo $$ F'(5) = f(5). $$ Recuerde que la derivada de una función es una nueva función. Así que de nuevo tenemos una salida ($F'(x)$) para cada entrada de $x$. La forma de calcular el resultado de la derivada de $F$ es mediante la evaluación de las $f$ en la entrada.
Bueno, las otras respuestas son muy satisfactorios y más que suficiente para lidiar con el problema, pero me gustaría exponer otro punto de vista...
Odio esta notación.
Usted no se integran $f(t)$$[a,b]$. Integrar una función de $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ $[a,b]$ . Esto es ilustrado por la presencia de la denominada "variable ficticia" no es sólo inútil e irrelevante, pero también confuso. Podemos re-escribir simplemente por
$$\int_a^b f(t)dt=\int_a^b f$$
Y (con Lebesgue de la Teoría de la mente), obtenemos mucho más reveladora de la notación:
$$\int_{[a,b]}fd\mu$$
$[a,b]$ es el conjunto estamos integrando más, y $\mu$ es la medida que estamos considerando, que simplemente podemos omitir de la notación en la mayoría de los casos cuando se trata con el cálculo, ya que tomamos la medida de lebesgue.... llegar a:
$$\int_{[a,b]}f$$
Ahora, tenemos que definir, por $x \in [a,b]$, en función de la $F:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ por:
$$F(x)=\int_{[a,x]}f$$
Tenga en cuenta que estamos cambiando el conjunto estamos integrando más cuando cambiamos $x$. El teorema fundamental del cálculo es simplemente la indicación de que si $f$ es continua en a $x$, entonces:
$$F'(x)=f(x)$$
Nota: Un "argumento" que la notación es la que hace que el teorema de cambio de variables intuitiva. No estoy de acuerdo. Esto hace que el teorema de cambio de variables (posiblemente) más fácilmente manejable y propensos a la buena de la memorización y de cálculo, pero es como va. La intuición es independiente de la notación. Incluso con esta "ventaja", me parece el teorema mucho menos confuso, teóricamente, cuando declaró como este:
$$ \int_{[\phi(a), \phi(b)]} f=\int_{[a,b]} f\circ \phi . \phi '$$
Dentro de la integral, la variable $t$ es un "dummy variable $ en que es sólo una etiqueta.
Se puede utilizar cualquier "lablel" para la variable dummy. A saber:
$$\int_a^x f(t) dt = \int_a^x f(u) du = \int_a^x f(v) dv $$
etcetera.
El resultado de la integración es una función de $x$, $F(x)$.
Nota: $F$ es también una función de $a$ y $a$ normalmente es visto como un parámetro fijo.
$t$ es una variable dummy es tan en un sentido allí por notación. Pensar en $\sum_{t=1}^nt = n(n+1)/2$. No importa qué $t$ es como no aparece en la forma simplificada, pero importa es qué $n$ . $F(x)$ es una función en $[a,b]$ que a veces se llama el antiderivative de $f(x)$. La definición de $f(t)$ puede ser cualquier cosa siempre y cuando sea continua.
La FTC es en realidad una muy intuitivo concepto de que no es realmente algo especial que acaba de cálculo. Aquí se muestra una explicación con absolutamente ninguna de las matemáticas. La FTC dice básicamente que la suma de pequeños cambios dentro de un límite resume de modo que la resultante del efecto (efecto Neto) sólo se produce en los límites. Ahora aquí está un poco de matemáticas $dF =f(t)dt $ la suma de $dF$ (infintesmaly diferencias en el $F $), que es la integral en el teorema es equivalente a la diferencia de $F $ a través de los límites $F (b)-F (a) $. Ahora, ¿por qué es este intuitivo...aquí es un simple pero útil ejemplo vamos a configurar la suma de $x_1-x_2+x_2-x_3+x_3-x_4$ lo hace esta cancelar para? $x_1-x_4$. $x_1$ y $x_4$ son los límites. Que es, básicamente, la FTC en el trabajo en un muy trivial. Esto nos permite darse cuenta también de que en el multivariable integral teoremas de Stokes, la divergencia y la Línea de la FTC son todos los planteamientos de la misma 1D FTC sólo disparó una dimensión. Espero que esto ayude! Creo que la intuición es la mejor.
