Inadecuada integals múltiples con producto interno

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente expresión:
$$\int_{\mathbb{R}^n} \langle x,a \rangle^2e^{-\frac{1}{2}\lvert x \rvert^2}dx$ $ donde $x,a \in \mathbb{R}^n$.
Traté de reducción para el caso donde $a$ es un elemento de la base natural del"" en $\mathbb{R}^n$ pero no puedo ver cómo ir de allí.

Answer 1

Nota : sé que me olvidé de la plaza en esta prueba, pero por favor, lea la prueba sin la plaza, como el enfoque de la plaza es muy análoga.

Escribir $\langle x,a \rangle = a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n$$|x|^2 = x_1^2 + \cdots + x_n^2$, por lo que el $e^{-|x|^2} = e^{-x_1^2} \cdots e^{-x_n^2}$. Por el teorema de Fubini, su integral se convierte en $$ \int_{\mathbb R^n}\langle x, \rangle e^{-|x|^2} dx = \sum_{i=1}^n \int_{\mathbb R^n} a_i x_i e^{-|x|^2} \, dx_i = \sum_{i=1}^n a_i \left( \int_{\mathbb R} e^{-x^2} \, dx \right)^{n-1} \int_{\mathbb R} x_i e^{-x_i^2} \, dx_i. $$ El poder de la $n-1$ aparece porque las integrales de $\int_{\mathbb R} e^{-x_j^2} \, dx_j$ no dependen $j$ $1 \le j \le n$, $j \neq i$. Estas integrales corresponden a la función de error, por lo que su valor es bien conocido ; por integración por partes se puede hacer el último integral con respecto a $x_i$. Os dejo los cálculos para usted.

Ahora si quieres hacerlo con la plaza, hacer el mismo truco ; las integrales que aparecen son sólo un poco más complicado (la integral de la $x^2 e^{-x^2}$ en lugar de $xe^{-x^2}$) y hay un poco más términos. El teorema de Fubini se divide el producto de las variables que aparecen al cuadrado del producto interior. La función de error $\mathrm{erf}(x_i)$ debe mostrar en los cálculos.

Añadido : Según lo sugerido por la OP en los comentarios, vamos a $T : \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ ser una transformación ortogonal con $Ta = (|a|,0,\cdots,0)$. Desde el Jacobiano es $1$, dejando $u = Tx$, debido a $|u| = |Tx| = |x|$, esta integral se convierte en $$ \int_{\mathbb R^n} \langle x, \rangle^2 e^{-|x|^2} \, dx = \int_{\mathbb R^n} \langle Tx,Ta \rangle^2 e^{-|x|^2} \, dx = \int_{\mathbb R^n} \langle u,Ta \rangle^2 e^{-|u|^2} \, du = \int_{\mathbb R^n} |a|^2u_1^2 e^{-|u|^2} \, du. $$ Ahora el uso de Fubini y completa como en mi otro ejemplo. Pero como he dicho anteriormente, usted todavía necesita para integrar a $\int_{\mathbb R} x^2 e^{-x^2} \, dx$ en cualquier caso, con la sugerencia de que sólo ahorrarse las sumas y re-organización.

Espero que ayude,

Answer 2

Esto es realmente simple. En $\mathbb R^2$ tienes\begin{align} \int \langle x,a\rangle^2e^{-|x|^2/2}\,dx &= \int\int (a_1^2x_1^2+2a_1a_2x_1x_2+a_2^2x_2^2)e^{-x_1^2/2}e^{-x_2^2/2}\,dx_1\,dx_2\ &= a_1^2\int\left(\int x_1^2e^{-x_1^2/2}\,dx_1\right)e^{-x_2^2/2}\,dx_2 + 2a_1a_2\left(\int xe^{-x^2/2}\,dx\right)^2\ &\qquad\qquad+ a_2^2\int x_2^2e^{-x_2^2/2}\left(\int e^{-x_1^2/2}\,dx_1\right)dx_2\ &= 2\pi a_1^2 + 0 + 2\pi a_2^2 = 2\pi(a_1^2+a_2^2) \end{align} en dimensiones superiores se procede análogamente. Al final, el resultado debería ser $(2\pi)^{n/2}|a|_2^2$.