¿Pueden dos pares de espacios tienen los mismo anillos de cohomología y sus productos tienen diferentes?

Question

Allí se conoce ejemplo de $CW$-complejos $X$, $Y$, $X'$ y $Y'$, tal que sus anillos de cohomología (con coeficientes en $\mathbb Z$) son isomorfos: $$H^(X)\simeq H^(X'), H^(Y)\simeq H^(Y'), pero sus productos tienen anillos de cohomología diferentes: $$H^(X\times Y)\ne H^(X'\times Y')?

tal vez esta conjetura es falsa por alguna construcción obvio con $\smile$-producto, pero estoy fallando a inventarlo.

Answer 1

Hatcher describe un ejemplo de contador en su libro en la página 307 (ejemplo 3E.6). Da explícitamente finitos CW complejos $X,X'$ y $Y$ tal que $H^(X\times Y;\mathbb{Z})\not \cong H^(X'\times Y;\mathbb{Z})$como anillos,$H^(X;\mathbb{Z})\cong H^(X';\mathbb{Z})$.