¿Puede Macaulay2 realizar cálculos con parámetros simbólicos?

Question

Estoy tratando de averiguar cómo utilizar Macaulay2 para hacer algunos cálculos de membresía ideal, y me encuentro con un problema con los parámetros simbólicos. Aquí está un ejemplo práctico.

Consideremos la familia de ideales $J_t=\langle tx^2+yz,ty^2 +xz,tz^2+xy\rangle\subset \mathbb{Q}[x,y,z]$ con $t\in\Bbb C$ . Siempre y cuando $t^3\neq 1$ tenemos $$x^2 y = \frac{t^2 y}{t^3+1}(tx^2+yz)-\frac{t z}{t^3+1}(ty^2+xz)+\frac{x}{t^3+1}(tz^2+xy)$$ y por lo tanto $x^2 y\in J_t$ . Me gustaría reproducir esto en Macaulay2 (versión del navegador web aquí ).

Si elijo un valor específico del parámetro $t$ Esto no es terriblemente difícil: construyo el ideal $J$ y luego calcular las coordenadas del polinomio $x^2 y$ en $J$ por x^2*y // J . Para $t=2$ tenemos

i1 : R=QQ[x,y,z];
i2 : t=2;
i3 : J=ideal(x^2*t+y*z,y^2*t+x*z,z^2*t+x*y);
o3 : Ideal of R
i4 : x^2*y // gens J
o4 = {2} | 4/9y  |
     {2} | -2/9z |
     {2} | 1/9x  |
             3       1
o4 : Matrix R  <--- R

que reproduce la descomposición $$x^2 y =\frac{4y}{9}(2x^2+yz)-\frac{2z}{9}(2y^2+xz)+\frac{x}{9}(2z^2+zy).$$

Sin embargo, sería preferible tener un algoritmo que funcione para un simbolismo arbitrario $t$ . ¿Hay alguna manera de hacer esto dentro de Macaulay2?

Answer 1

De hecho, hay una solución fácil para esto, que atribuiré a la respuesta de Thomas Khale a un Pregunta sobre los grupos de Google . En primer lugar, hacemos K=frac(QQ[t]) para inicializar $K$ como un campo de fracciones racionales en $t$ . Entonces tomamos que el anillo polinómico subyacente no es $\mathbb{Q}[x,y,z]$ sino que $K[x,y,z]$ a través de R=K[x,y,z] . Esto permite a Macaulay2 descomponer $x^2 y$ en el ideal $J_t$ con coeficientes que son funciones racionales de $t$ .

Aquí está el código modificado:

i1 : K=frac(QQ[t])
o1 = K
o1 : FractionField
i2 : R=K[x,y,z];
i3 : J=ideal(x^2*t+y*z,y^2*t+x*z,z^2*t+x*y);
o3 : Ideal of R
i4 : x^2*y // gens J
o4 = {2} | t2/(t3+1)y |
     {2} | -t/(t3+1)z |
     {2} | 1/(t3+1)x  |
             3       1
o4 : Matrix R  <--- R