La pregunta del corte de rama

Question

Tengo una función $$f(z)=(z-1)^{3/5}(z+1)^{2/5}$$ y tengo la rama de esta función elegida de tal manera que $$- \pi < \arg (z \pm1 ) \leq\pi $$ ¿Cómo muestro que un corte de rama no es necesario en la sección $(- \infty ,1)$ del eje real?

He definido $(z-1)=r_1e^{i \theta_1 }$ y $(z+1)=r_2e^{i \theta_2 }$ y por lo tanto puede conseguir $f(z)$ en la forma $$r_1^{3/5}r_2^{2/5}e^{i/5(3 \theta_1 +2 \theta_2 )}$$ Aquí es donde me confundo, pero creo que tengo que encontrar $f(x \pm0i )$ en la sección $( \infty ,1)$ del eje real y determinar la continuidad, pero no sé cómo hacerlo para este ejemplo específico y agradecería algo de ayuda. Gracias.

Answer 1

Sólo se necesita una rama cortada entre $-1$ y $1$ . Podemos definir $$ \log\left(\frac{w-1}{w+1}\right)=\frac{\pi i}{2}+\int_i^w\left(\frac1{z-1}-\frac1{z+1}\right)\,\mathrm{d}z $$ donde el camino desde $i$ a $w$ no cruza el segmento de línea de $-1$ a $1$ . Esto obliga a la diferencia de dos trayectorias cualesquiera de $i$ a $w$ para rodear ambas singularidades el mismo número de veces. Como sus residuos son $1$ y $-1$ el residuo total sería $0$ por lo que la función calculada utilizando cualquiera de los dos caminos sería la misma.

Por lo tanto, podemos definir $$ (z-1)^{3/5}(z+1)^{2/5}=\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{3/5}(z+1) $$ utilizando el mismo corte de rama.

Answer 2

Sólo hay que elegir un corte de rama para que todos los puntos de rama se encuentren en el corte. Recuerda que un punto de ramificación es un punto en el que la función es discontinua al recorrer un circuito arbitrariamente pequeño alrededor del punto. Eligiendo un corte de rama como este, estás esencialmente reconociendo este comportamiento y eligiendo específicamente dónde ocurrirá esta discontinuidad.

Los puntos $z = \pm 1$ son claramente puntos de ramificación, y son los únicos puntos de ramificación finitos. El punto en el infinito también puede ser un punto de bifurcación. En este caso no lo es (se muestra a continuación), pero si lo fuera entonces tendrías que elegir tu corte para que contenga los tres puntos de bifurcación ( $1$ , $-1$ y $\infty$ ). Se puede hacer esto eligiendo que sea el intervalo real $(-\infty,1]$ pero hay infinidad de otras opciones que podrías hacer también.

Para ver que el punto en el infinito no es un punto de bifurcación, reescribe la función como

$$ f(z) = z\,\left(\frac{1}{z}-1\right)^{3/5}\left(\frac{1}{z}+1\right)^{2/5}. $$

Dejemos que $|z| > 1$ . De este modo, podemos asegurar que ninguna de las dos cantidades $a = \frac{1}{z}-1$ o $b = \frac{1}{z}+1$ hará un circuito sobre el origen, independientemente de lo que $z$ está haciendo. Ambos están restringidos a discos unitarios centrados en $-1$ y $1$ respectivamente. De hecho, $|a+1|<1$ y $|b-1|<1$ .

Ahora, con esta condición en $|z|$ , si $z$ hace un circuito en torno al origen (equivalentemente, un circuito en torno al infinito), el cambio en el argumento de $f$ es precisamente $2\pi$ y la función permanece inalterada. Así, hemos recorrido de forma continua un circuito arbitrariamente pequeño alrededor del infinito, y por tanto el infinito no es un punto de bifurcación de $f$ .

En consecuencia, sólo tenemos que elegir un corte de rama que incluya $1$ y $-1$ . El inverval real $[-1,1]$ es la opción más sencilla.