Saturación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

Yendo al menor detalle posible, he aquí una afirmación del texto de Wald sobre QFT en espacios-tiempo curvos (no cito el libro)

Considera dos espacios vectoriales ${\cal S}$ y ${\cal H}$ .

Nota - Para más detalles sobre ${\cal S}$ y ${\cal H}$ lee esta caja. Creo que para la mayor parte de la pregunta, los siguientes detalles son irrelevantes, pero los proporcionaré de todos modos. De lo contrario, salte a continuación.

Comienza considerando el espacio de soluciones de un sistema clásico ${\cal S}$ con estructura simpléctica $\Omega$ . Esto tiene una estructura natural de espacio vectorial. Lo complejiza a ${\cal S}^{\mathbb C}$ y se extiende $\Omega$ a ${\cal S}^{\mathbb C}$ por linealidad compleja en cada variable. A continuación, define el mapa $(\cdot, \cdot): {\cal S}^{\mathbb C} \times {\cal S}^{\mathbb C} \to {\mathbb C}$ en ${\cal S}^{\mathbb C}$ como $$ (y_1, y_2) = - i \Omega( \overline{y_1}, y_2) $$ Esto satisface todas las propiedades de un producto interno excepto la definición positiva. A continuación, considera el subespacio ${\cal H}$ de ${\cal S}^{\mathbb C}$ en el que el producto interior anterior es positivo-definido. (Por supuesto, hay muchas opciones de ${\cal H}$ . Cualquiera de ellos servirá).

A continuación, muestra que hay un mapa uno a uno $K: {\cal S} \to {\cal H}$ . Demuestra que se puede definir un producto interno real $\mu: {\cal S} \times {\cal S} \to {\mathbb R}$ en ${\cal S}$ . A continuación, demuestra que se puede utilizar esto para definir un producto interno complejo sobre $\cal H$ como $$ \left( K y_1, K y_2 \right)_{\cal H} = \mu(y_1, y_2) - \frac{i}{2} \Omega(y_1, y_2)~\forall~y_1, y_2 \in {\cal S} $$ donde $\Omega: {\cal S} \times {\cal S} \to {\mathbb R}$ es una función antisimétrica sobre ${\cal S}$ es decir $\Omega(y_1, y_2) = - \Omega(y_2, y_1)$ . A continuación, utiliza el Desigualdad de Cauchy-Schwarz para ${\cal H}$ . Esto dice $$ \left( K y_1, K y_1 \right)_{\cal H} \left( K y_2, K y_2 \right)_{\cal H} \geq \left| \left( K y_1, K y_2 \right)_{\cal H} \right|^2 \geq \left| \text{Im} \left( K y_1, K y_2 \right)_{\cal H} \right|^2 $$ Ampliándolo, escribe $$ \mu(y_1, y_1) \mu(y_2, y_2) \geq \mu(y_1, y_2)^2 + \frac{1}{4} \Omega(y_1, y_2)^2 \geq \frac{1}{4} \Omega(y_1, y_2)^2 $$ Más concretamente $$ \boxed{ \mu(y_1, y_1) \mu(y_2, y_2)\geq \frac{1}{4} \Omega(y_1, y_2)^2 } $$

Ahora bien, esta es la afirmación que me confunde

De hecho, desde $K$ es uno a uno y onto y como la desigualdad de Schwarz en ${\cal H}$ siempre puede ser ``saturado'', obtenemos la siguiente versión más fuerte de la última desigualdad: Para cada $y_1 \in {\cal S}$ tenemos $$ \mu(y_1, y_1) = \frac{1}{4} \max_{y_2 \neq 0} \frac{ \Omega(y_1, y_2)^2}{\mu(y_2, y_2)} $$ Esta es mi pregunta Q. ¿De dónde sacó la expresión anterior?

Parece afirmar que la desigualdad en caja está siempre saturada para algún vector $y_2 \in {\cal S}$ . ¿Es eso cierto? ¿Por qué?

P.D. - Comprendo que algunos piensen que esta pregunta es más bien una cuestión de matemáticas que de física. Pero, pensé que podría ser posible que la respuesta se basara en algunas de las suposiciones que hacemos en la física, así que la pregunté aquí. Cualquier comentario será útil.

Answer 1

Dejemos que $y_1, y_2$ $2$ vectores complejos y que $\langle ~,~\rangle$ sea un producto interno complejo definido por $\langle y_1,y_2\rangle = \vec y_1^*.\vec y_2$ .

Dejemos que $\vec a$ y $\vec b$ la parte real e imaginaria de $\vec y$ :
$\vec y = \vec a + i \vec b$

Entonces:

$$\langle y_1,y_2\rangle = \left(\vec a_1 \cdot \vec a_2 + \vec b_1 \cdot \vec b_2\right) + i \left(\vec a_1 \cdot \vec b_2 - \vec b_1 \cdot \vec a_2\right) = u(y_1,y_2) + iv(y_1,y_2)$$

La desigualdad de Cauchy-Schwartz da :

$$\langle y_1,y_1\rangle \langle y_2,y_2\rangle ~~\ge ~~|\langle y_1,y_2\rangle |^2$$

Observamos que : $\langle y_1,y_1\rangle = u(y_1, y_1)$ , por lo que tenemos :

$$u(y_1,y_1)~~\ge ~~ \frac{u^2(y_1,y_2) + v^2(y_1,y_2)}{u(y_2,y_2)}$$

Ahora bien, la fijación de un $y_1$ limitamos el conjunto de $y_2$ a los que respetan $u(y_1,y_2) =0$ . Por lo tanto, ahora tenemos :

$$u(y_1,y_1)~~\ge ~~ \frac{ v^2(y_1,y_2)}{u(y_2,y_2)}\tag 1$$

Ahora, toma explícitamente $y_2$ definido por $ \vec a_2 = - ~\vec b_1, \vec b_2 =\vec a_1,$ vemos que $\vec a_1 \cdot \vec a_2 + \vec b_1 \cdot \vec b_2 = 0$ Es decir $u(y_1,y_2) = 0$ por lo que esta elección es coherente con nuestra hipótesis anterior.

Además, tenemos $v(y_1,y_2) = \vec a_1^2 + \vec b_1^2 $ y $u(y_2,y_2) = \vec a_1^2 + \vec b_1^2 $ Así que tenemos, para este particular $y_2$ .

$$u(y_1,y_1)~~= ~~ \frac{ v^2(y_1,y_2)}{u(y_2,y_2)}\tag 1$$

Así, vemos que la desigualdad $(1)$ está efectivamente saturado por nuestra elección de este particular $y_2\,.$