Blow Up: Resolución de la singularidad

Question

De golpe ups, he trabajado sólo en $\mathbb{CP}^2$. Una vez que localice la base de punto, decir $[x,y,z]=[0,1,0]$, vuelvo a $\mathbb{C}^2$ considerando el gráfico de $y=1$.

Yo, a continuación, proceder a volar $(x,z)=(0,0)$$\mathbb{C}^2$. Por ejemplo, en mi primer cuadro, yo uso la transformación (definir nuevas coordenadas) $x=x_{1}$$z=x_{1}z_{1}$, $x_{1}=x$$z_{1}=z/x$, donde el divisor excepcional es $x_{1}=0$. Un enfoque similar se tiene para el segundo gráfico.

Sin embargo, estoy totalmente desorientado cuando se trata de dimensiones superiores. Por ejemplo, yo tengo el punto de base $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8]=[0,0,0,0,0,0,1,0]$$\mathbb{CP}^7$.

¿Qué debo hacer (transformaciones) para mi primer golpe? Cuántos gráficos son posibles? Es allí cualquier explícita ejemplo (en dimensiones superiores) que podría ir a más?

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He añadido mi intento de resolver este problema como una solución para sugerencias y comentarios.

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Gracias, Radz.

Answer 1

Tal vez sólo tengo que ampliar lo que yo sé para$\mathbb{CP}^2$$\mathbb{C}^2$. Por favor, hágamelo saber si este enfoque es correcto (o incorrecto).

Para la base-punto de $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8]=[0,0,0,0,0,0,1,0]\in\mathbb{CP}^7$, consideramos que el gráfico de $x_7=1$. A continuación, vamos a $[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_8]=[y_{10},y_{20},y_{30},y_{40},y_{50},y_{60},y_{70}]\in\mathbb{C}^7$. La base de punto en $\mathbb{C^7}$$[0,0,0,0,0,0,0]$.

En el gráfico 1 de la primera blow-up, las transformaciones son: $y_{10}=y_{11}$, $y_{20}=y_{11}y_{21}$, $y_{30}=y_{11}y_{31}$, $y_{40}=y_{11}y_{41}$, $y_{50}=y_{11}y_{51}$, $y_{60}=y_{11}y_{61}$ y $y_{70}=y_{11}y_{71}$.

Que es, $$y_{11}=y_{10}$$ and $$y_{i1}=\frac{y_{i0}}{y_{10}},\quad\quad i=2,3,\ldots,7.$$

El divisor excepcional en este gráfico se define por $y_{11}=0$.

Se aplica un procedimiento similar para el resto de los 6 gráficos.

Gracias, Radz.